ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 10 - 10.35

1) $y = 6^{\cos x}$ Для любого $x \in \mathbb{R}$ область значений функции косинуса: $$ -1 \le \cos x \le 1 $$ Показательная функция $f(t) = 6^t$ возрастает на всей числовой прямой, так как её основание $6 > 1$. Поэтому большему значению показателя степени соответствует большее значение функции: $$ 6^{-1} \le 6^{\cos x} \le 6^1 $$ $$ \frac{1}{6} \le y \le 6 $$ Наименьшее значение функция принимает при $\cos x = -1$ (например, при $x = \pi$): $$ y_{\text{наим}} = 6^{-1} = \frac{1}{6} $$ Наибольшее значение функция принимает при $\cos x = 1$ (например, при $x = 0$): $$ y_{\text{наиб}} = 6^1 = 6 $$ **Ответ:** $y_{\text{наим}} = \frac{1}{6}$, $y_{\text{наиб}} = 6$. --- 2) $y = \left(\frac{1}{5}\right)^{\left|\cos x\right|} + 5$ Так как $-1 \le \cos x \le 1$, значения выражения $|\cos x|$ удовлетворяют двойному неравенству: $$ 0 \le |\cos x| \le 1 $$ Показательная функция $g(t) = \left(\frac{1}{5}\right)^t$ убывает на всей числовой прямой, так как её основание $0 < \frac{1}{5} < 1$. Следовательно, меняем знаки неравенства на противоположные: $$ \left(\frac{1}{5}\right)^1 \le \left(\frac{1}{5}\right)^{|\cos x|} \le \left(\frac{1}{5}\right)^0 $$ $$ \frac{1}{5} \le \left(\frac{1}{5}\right)^{|\cos x|} \le 1 $$ Прибавим $5$ ко всем частям неравенства: $$ \frac{1}{5} + 5 \le \left(\frac{1}{5}\right)^{|\cos x|} + 5 \le 1 + 5 $$ $$ 5\frac{1}{5} \le y \le 6 $$ Наименьшее значение функция принимает при $|\cos x| = 1$ (например, при $x = 0$): $$ y_{\text{наим}} = \frac{1}{5} + 5 = 5\frac{1}{5} = 5{,}2 $$ Наибольшее значение функция принимает при $|\cos x| = 0$ (например, при $x = \frac{\pi}{2}$): $$ y_{\text{наиб}} = 1 + 5 = 6 $$ **Ответ:** $y_{\text{наим}} = 5\frac{1}{5}$ (или $5{,}2$), $y_{\text{наиб}} = 6$.