ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 11 - 11.2

### 1) $$ 0{,}4^{x^2 - x - 6} = 1 $$ Так как любое ненулевое число в нулевой степени равно единице ($1 = 0{,}4^0$), приравняем показатели степеней: $$ 0{,}4^{x^2 - x - 6} = 0{,}4^0 $$ $$ x^2 - x - 6 = 0 $$ Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -6 \end{cases} $$ Отсюда: $$ x_1 = 3, \quad x_2 = -2 $$ Ответ: $-2;\; 3$. --- ### 2) $$ \left(\frac{3}{5}\right)^x = \frac{5}{3} $$ Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $\frac{3}{5}$: $$ \frac{5}{3} = \left(\frac{3}{5}\right)^{-1} $$ Получаем: $$ \left(\frac{3}{5}\right)^x = \left(\frac{3}{5}\right)^{-1} $$ $$ x = -1 $$ Ответ: $-1$. --- ### 3) $$ 0{,}7^x = 2\frac{2}{49} $$ Запишем десятичную дробь в виде обыкновенной, а смешанное число обратим в неправильную дробь: $$ 0{,}7 = \frac{7}{10}, \quad 2\frac{2}{49} = \frac{2 \cdot 49 + 2}{49} = \frac{100}{49} $$ Преобразуем правую часть к основанию $\frac{7}{10}$: $$ \frac{100}{49} = \left(\frac{10}{7}\right)^2 = \left(\frac{7}{10}\right)^{-2} $$ Тогда уравнение принимает вид: $$ \left(\frac{7}{10}\right)^x = \left(\frac{7}{10}\right)^{-2} $$ $$ x = -2 $$ Ответ: $-2$. --- ### 4) $$ 9^{-x} = 27 $$ Приведем обе части уравнения к основанию $3$: $$ (3^2)^{-x} = 3^3 $$ $$ 3^{-2x} = 3^3 $$ Приравниваем показатели степеней: $$ -2x = 3 $$ $$ x = -\frac{3}{2} = -1{,}5 $$ Ответ: $-1{,}5$. --- ### 5) $$ \sqrt{2^x} = 8^{\frac{2}{3}} $$ Представим обе части уравнения в виде степени с основанием $2$: $$ \sqrt{2^x} = (2^x)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{x}{2}} $$ $$ 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 $$ Получаем: $$ 2^{\frac{x}{2}} = 2^2 $$ $$ \frac{x}{2} = 2 $$ $$ x = 4 $$ Ответ: $4$. --- ### 6) $$ \left(\frac{2}{9}\right)^{2x + 3} = 4{,}5^{x - 2} $$ Преобразуем основание в правой части: $$ 4{,}5 = \frac{45}{10} = \frac{9}{2} = \left(\frac{2}{9}\right)^{-1} $$ Тогда: $$ 4{,}5^{x - 2} = \left(\left(\frac{2}{9}\right)^{-1}\right)^{x - 2} = \left(\frac{2}{9}\right)^{-(x - 2)} = \left(\frac{2}{9}\right)^{-x + 2} $$ Уравнение принимает вид: $$ \left(\frac{2}{9}\right)^{2x + 3} = \left(\frac{2}{9}\right)^{-x + 2} $$ Приравниваем показатели: $$ 2x + 3 = -x + 2 $$ $$ 2x + x = 2 - 3 $$ $$ 3x = -1 $$ $$ x = -\frac{1}{3} $$ Ответ: $-\frac{1}{3}$. --- ### 7) $$ 100^x = 0{,}01\sqrt{10} $$ Приведем обе части уравнения к основанию $10$: $$ 100^x = (10^2)^x = 10^{2x} $$ $$ 0{,}01\sqrt{10} = 10^{-2} \cdot 10^{\frac{1}{2}} = 10^{-2 + \frac{1}{2}} = 10^{-\frac{3}{2}} $$ Получаем: $$ 10^{2x} = 10^{-\frac{3}{2}} $$ $$ 2x = -\frac{3}{2} $$ $$ x = -\frac{3}{4} = -0{,}75 $$ Ответ: $-0{,}75$. --- ### 8) $$ \left(\frac{2}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{25}{8}\right)^x = \frac{125}{64} $$ Используем свойство степени $a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x$: $$ \left(\frac{2}{5} \cdot \frac{25}{8}\right)^x = \frac{125}{64} $$ Сократим дробь в скобках: $$ \frac{2 \cdot 25}{5 \cdot 8} = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 4} = \frac{5}{4} $$ Представим правую часть как степень дроби $\frac{5}{4}$: $$ \frac{125}{64} = \left(\frac{5}{4}\right)^3 $$ Получаем: $$ \left(\frac{5}{4}\right)^x = \left(\frac{5}{4}\right)^3 $$ $$ x = 3 $$ Ответ: $3$. --- ### 9) $$ 2^{x-1} \cdot 3^{x-1} = \frac{1}{36} \cdot 6^{2x + 5} $$ Преобразуем левую часть уравнения по свойству степеней: $$ (2 \cdot 3)^{x-1} = 6^{x-1} $$ В правой части представим $\frac{1}{36}$ как степень с основанием $6$: $$ \frac{1}{36} = 6^{-2} $$ Тогда правая часть равна: $$ 6^{-2} \cdot 6^{2x + 5} = 6^{-2 + 2x + 5} = 6^{2x + 3} $$ Уравнение принимает вид: $$ 6^{x-1} = 6^{2x + 3} $$ $$ x - 1 = 2x + 3 $$ $$ x - 2x = 3 + 1 $$ $$ -x = 4 $$ $$ x = -4 $$ Ответ: $-4$. --- ### 10) $$ 32^{\frac{3}{5}x - 2} = 4^{6 - \frac{3}{2}x} $$ Приведем обе части к основанию $2$, учитывая, что $32 = 2^5$, а $4 = 2^2$: $$ (2^5)^{\frac{3}{5}x - 2} = (2^2)^{6 - \frac{3}{2}x} $$ Раскроем скобки в показателях: $$ 2^{5 \cdot \left(\frac{3}{5}x - 2\right)} = 2^{2 \cdot \left(6 - \frac{3}{2}x\right)} $$ $$ 2^{3x - 10} = 2^{12 - 3x} $$ Приравниваем показатели: $$ 3x - 10 = 12 - 3x $$ $$ 3x + 3x = 12 + 10 $$ $$ 6x = 22 $$ $$ x = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3} $$ Ответ: $\frac{11}{3}$ (или $3\frac{2}{3}$). --- ### 11) $$ 3^{x^2 - 9} = 7^{x^2 - 9} $$ Разделим обе части уравнения на $7^{x^2 - 9} \neq 0$: $$ \frac{3^{x^2 - 9}}{7^{x^2 - 9}} = 1 $$ $$ \left(\frac{3}{7}\right)^{x^2 - 9} = \left(\frac{3}{7}\right)^0 $$ Приравниваем показатели: $$ x^2 - 9 = 0 $$ $$ x^2 = 9 $$ $$ x = \pm 3 $$ Ответ: $-3;\; 3$. --- ### 12) $$ 16^{5 - 3x} = 0{,}125^{5x - 6} $$ Приведем обе части к основанию $2$, учитывая, что $16 = 2^4$, а $0{,}125 = \frac{1}{8} = 2^{-3}$: $$ (2^4)^{5 - 3x} = (2^{-3})^{5x - 6} $$ $$ 2^{4(5 - 3x)} = 2^{-3(5x - 6)} $$ $$ 2^{20 - 12x} = 2^{-15x + 18} $$ Приравниваем показатели: $$ 20 - 12x = -15x + 18 $$ $$ -12x + 15x = 18 - 20 $$ $$ 3x = -2 $$ $$ x = -\frac{2}{3} $$ Ответ: $-\frac{2}{3}$.