ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 11 - 11.1

1) $4^x = 64$ Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $4$: $$ 4^x = 4^3 $$ Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: $$ x = 3 $$ Ответ: $3$. 2) $3^x = \frac{1}{81}$ Представим число $\frac{1}{81}$ как степень числа $3$: $$ \frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4} $$ Тогда уравнение принимает вид: $$ 3^x = 3^{-4} $$ $$ x = -4 $$ Ответ: $-4$. 3) $0,6^{2x-3} = 1$ Так как любое ненулевое число в нулевой степени равно $1$, запишем: $$ 0,6^{2x-3} = 0,6^0 $$ $$ 2x - 3 = 0 $$ $$ 2x = 3 $$ $$ x = 1,5 $$ Ответ: $1,5$. 4) $10^{-x} = 0,001$ Запишем десятичную дробь в виде степени с основанием $10$: $$ 0,001 = 10^{-3} $$ $$ 10^{-x} = 10^{-3} $$ $$ -x = -3 $$ $$ x = 3 $$ Ответ: $3$. 5) $2^{5-x} = 2^{3x-7}$ Основания степеней одинаковы, приравниваем показатели: $$ 5 - x = 3x - 7 $$ $$ -x - 3x = -7 - 5 $$ $$ -4x = -12 $$ $$ x = 3 $$ Ответ: $3$. 6) $8^x = 16$ Приведем обе части уравнения к основанию $2$: $$ (2^3)^x = 2^4 $$ $$ 2^{3x} = 2^4 $$ $$ 3x = 4 $$ $$ x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $$ Ответ: $1\frac{1}{3}$. 7) $0,16^x = \frac{5}{2}$ Представим десятичную дробь $0,16$ в виде обыкновенной несократимой дроби: $$ 0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25} = \left(\frac{2}{5}\right)^2 $$ Число в правой части представим как степень с тем же основанием: $$ \frac{5}{2} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1} $$ Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $$ \left(\left(\frac{2}{5}\right)^2\right)^x = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1} $$ $$ \left(\frac{2}{5}\right)^{2x} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1} $$ $$ 2x = -1 $$ $$ x = -0,5 $$ Ответ: $-0,5$. 8) $\sqrt{5^x} = 25$ Запишем квадратный корень и правую часть в виде степеней с основанием $5$: $$ (5^x)^{\frac{1}{2}} = 5^2 $$ $$ 5^{\frac{x}{2}} = 5^2 $$ $$ \frac{x}{2} = 2 $$ $$ x = 4 $$ Ответ: $4$. 9) $0,25^{x^2-4} = 2^{x^2+1}$ Так как $0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$, приведем левую часть к основанию $2$: $$ (2^{-2})^{x^2-4} = 2^{x^2+1} $$ $$ 2^{-2(x^2-4)} = 2^{x^2+1} $$ $$ 2^{-2x^2+8} = 2^{x^2+1} $$ Приравниваем показатели: $$ -2x^2 + 8 = x^2 + 1 $$ $$ -3x^2 = -7 $$ $$ x^2 = \frac{7}{3} $$ $$ x = \pm\sqrt{\frac{7}{3}} = \pm\frac{\sqrt{21}}{3} $$ Ответ: $-\frac{\sqrt{21}}{3};\; \frac{\sqrt{21}}{3}$. 10) $\left(\frac{4}{9}\right)^{x-1} \cdot \left(\frac{27}{8}\right)^{x-1} = \frac{2}{3}$ Используем свойство степени произведения: $$ \left(\frac{4}{9} \cdot \frac{27}{8}\right)^{x-1} = \frac{2}{3} $$ Выполним умножение и сокращение дробей: $$ \frac{4 \cdot 27}{9 \cdot 8} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2} $$ Получаем: $$ \left(\frac{3}{2}\right)^{x-1} = \frac{2}{3} $$ Так как $\frac{2}{3} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-1}$: $$ \left(\frac{3}{2}\right)^{x-1} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-1} $$ $$ x - 1 = -1 $$ $$ x = 0 $$ Ответ: $0$. 11) $2^x \cdot 5^x = 0,1 \cdot (10^{x-1})^5$ Преобразуем левую и правую части, используя свойства степеней: $$ (2 \cdot 5)^x = 10^{-1} \cdot 10^{5(x-1)} $$ $$ 10^x = 10^{-1} \cdot 10^{5x-5} $$ $$ 10^x = 10^{-1 + 5x - 5} $$ $$ 10^x = 10^{5x-6} $$ Приравниваем показатели: $$ x = 5x - 6 $$ $$ -4x = -6 $$ $$ x = \frac{-6}{-4} = 1,5 $$ Ответ: $1,5$. 12) $\left(\frac{4}{7}\right)^{3x-7} = \left(\frac{7}{4}\right)^{7x-3}$ Используем свойство $\frac{7}{4} = \left(\frac{4}{7}\right)^{-1}$: $$ \left(\frac{4}{7}\right)^{3x-7} = \left(\left(\frac{4}{7}\right)^{-1}\right)^{7x-3} $$ $$ \left(\frac{4}{7}\right)^{3x-7} = \left(\frac{4}{7}\right)^{-(7x-3)} $$ Приравниваем показатели: $$ 3x - 7 = -7x + 3 $$ $$ 3x + 7x = 3 + 7 $$ $$ 10x = 10 $$ $$ x = 1 $$ Ответ: $1$. 13) $36^x = \left(\frac{1}{216}\right)^{2-x}$ Приведем обе части к степени с основанием $6$, учитывая, что $36 = 6^2$ и $\frac{1}{216} = 6^{-3}$: $$ (6^2)^x = (6^{-3})^{2-x} $$ $$ 6^{2x} = 6^{-3(2-x)} $$ $$ 6^{2x} = 6^{-6 + 3x} $$ Приравниваем показатели: $$ 2x = -6 + 3x $$ $$ 2x - 3x = -6 $$ $$ -x = -6 $$ $$ x = 6 $$ Ответ: $6$. 14) $5^{x^2-2x} = 6^{x^2-2x}$ Разделим обе части уравнения на $6^{x^2-2x} \neq 0$: $$ \frac{5^{x^2-2x}}{6^{x^2-2x}} = 1 $$ $$ \left(\frac{5}{6}\right)^{x^2-2x} = \left(\frac{5}{6}\right)^0 $$ Приравниваем показатели: $$ x^2 - 2x = 0 $$ $$ x(x - 2) = 0 $$ $$ x = 0 \quad \text{или} \quad x - 2 = 0 \implies x = 2 $$ Ответ: $0;\; 2$. 15) $3^{x-1} = 6^x \cdot 2^{-x} \cdot 3^{x+1}$ Упростим правую часть уравнения, разложив $6^x$ на множители: $6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$. $$ 3^{x-1} = 2^x \cdot 3^x \cdot 2^{-x} \cdot 3^{x+1} $$ Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: $$ 3^{x-1} = (2^x \cdot 2^{-x}) \cdot (3^x \cdot 3^{x+1}) $$ $$ 3^{x-1} = 2^{x - x} \cdot 3^{x + x + 1} $$ $$ 3^{x-1} = 2^0 \cdot 3^{2x+1} $$ Так как $2^0 = 1$: $$ 3^{x-1} = 3^{2x+1} $$ Приравниваем показатели: $$ x - 1 = 2x + 1 $$ $$ x - 2x = 1 + 1 $$ $$ -x = 2 $$ $$ x = -2 $$ Ответ: $-2$.