ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 10 - 10.32

1) Построим график функции $y = \frac{1}{3^{|x|}}$. Преобразуем формулу функции, используя свойство степени с отрицательным показателем: $$ y = 3^{-|x|} = \left(\frac{1}{3}\right)^{|x|} $$ Исследуем свойства функции: - Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. - Чётность: $y(-x) = \frac{1}{3^{|-x|}} = \frac{1}{3^{|x|}} = y(x)$, следовательно, функция является чётной, а её график симметричен относительно оси ординат $Oy$. План построения: 1. Раскрываем модуль при $x \ge 0$: $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$. Строим график убывающей показательной функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ на промежутке $[0; +\infty)$. 2. Симметрично отображаем построенную часть относительно оси ординат $Oy$ в область $x < 0$. Таблица опорных точек: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $\frac{1}{9}$ | $\frac{1}{3}$ | $1$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{9}$ | Особенности графика: - Точка максимума — $(0; 1)$. - При $|x| \to \infty$ значения функции стремятся к нулю, не достигая его: ось абсцисс ($y = 0$) является горизонтальной асимптотой. - Область значений: $E(y) = (0; 1]$. --- 2) Построим график функции $y = 3^{|x|} - 1$. Исследуем свойства функции: - Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. - Чётность: $y(-x) = 3^{|-x|} - 1 = 3^{|x|} - 1 = y(x)$, функция чётная, график симметричен относительно оси ординат $Oy$. План построения с помощью геометрических преобразований: 1. Строим базовый график показательной функции $y = 3^x$. 2. Применяем преобразование $y = f(|x|)$: оставляем ту часть графика, которая находится в области $x \ge 0$, и симметрично отображаем её относительно оси $Oy$ в область $x < 0$. Получаем график $y = 3^{|x|}$. 3. Сдвигаем полученный график на $1$ единицу вниз вдоль оси $Oy$. Таблица опорных точек: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | Особенности графика: - Наименьшее значение функции достигается в точке $(0; 0)$. - График напоминает форму «галочки» с плавными ветвями, круто возрастающими влево и вправо от оси ординат. - Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$. --- 3) Построим график функции $y = |3^x - 1|$. Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. План построения с помощью геометрических преобразований: 1. Строим график показательной функции $y = 3^x$. 2. Опускаем график на $1$ единицу вниз вдоль оси $Oy$, получая функцию $y = 3^x - 1$. - График пересекает ось $Ox$ в точке $(0; 0)$, так как $3^0 - 1 = 0$. - При $x \to -\infty$ прямая $y = -1$ является горизонтальной асимптотой. 3. Применяем преобразование $y = |f(x)|$: - Часть графика, лежащую на оси $Ox$ и выше неё (при $x \ge 0$), оставляем без изменений. - Часть графика, расположенную ниже оси $Ox$ (при $x < 0$), симметрично отображаем относительно оси абсцисс $Ox$ вверх. - Горизонтальная асимптота $y = -1$ при этом отображении переходит в прямую $y = 1$ (при $x \to -\infty$). Таблица опорных точек: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $\left|\frac{1}{9}-1\right| = \frac{8}{9}$ | $\left|\frac{1}{3}-1\right| = \frac{2}{3}$ | $0$ | $2$ | $8$ | Особенности графика: - Точка излома и минимум функции — $(0; 0)$. - При $x \to -\infty$ ветвь графика приближается к прямой $y = 1$ снизу. - При $x \to +\infty$ ветвь графика круто возрастает. - Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.