ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 10 - 10.34

1) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $y = \left(\frac{1}{4}\right)^{\sin x}$. Для любого действительного числа $x$ значения тригонометрической функции $\sin x$ ограничены: $$ -1 \le \sin x \le 1 $$ Показательная функция $f(t) = \left(\frac{1}{4}\right)^t$ убывает на всей области определения, так как её основание $0 < \frac{1}{4} < 1$. Следовательно, большему значению аргумента $t = \sin x$ соответствует меньшее значение функции, а меньшему значению аргумента — большее: - Наибольшее значение достигается при $\sin x = -1$: $$ y_{\text{наиб}} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} = 4 $$ - Наименьшее значение достигается при $\sin x = 1$: $$ y_{\text{наим}} = \left(\frac{1}{4}\right)^1 = \frac{1}{4} $$ 2) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $y = 3^{|\sin x|} - 2$. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, модуль синуса принимает значения: $$ 0 \le |\sin x| \le 1 $$ Показательная функция $g(t) = 3^t$ возрастает на всей области определения, так как её основание $3 > 1$. Следовательно, функция $y = 3^t - 2$ также монотонно возрастает по переменной $t = |\sin x|$: - Наименьшее значение достигается при $|\sin x| = 0$: $$ y_{\text{наим}} = 3^0 - 2 = 1 - 2 = -1 $$ - Наибольшее значение достигается при $|\sin x| = 1$: $$ y_{\text{наиб}} = 3^1 - 2 = 3 - 2 = 1 $$ **Ответ:** 1) наибольшее значение равно $4$, наименьшее значение равно $\frac{1}{4}$; 2) наибольшее значение равно $1$, наименьшее значение равно $-1$.