ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 10 - 10.31

### 1) Построение графика функции $y = 2^{|x|}$ **Алгоритм построения:** 1. Строим график базовой показательной функции $y = 2^x$ для $x \ge 0$. 2. Так как аргумент взят по модулю ($y = f(|x|)$), функция является четной ($f(-x) = f(x)$). Оставляем часть графика при $x \ge 0$ без изменений и отображаем её симметрично относительно оси $Oy$ в область $x < 0$. **Таблица контрольных точек:** | $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y = 2^{|x|}$ | $8$ | $4$ | $2$ | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ | **Свойства графика:** - Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. - Область значений: $E(y) = [1; +\infty)$. - График симметричен относительно оси ординат $Oy$. - Точка минимума: $(0; 1)$. --- ### 2) Построение графика функции $y = 2^{|x|} + 1$ **Алгоритм построения:** 1. Используем график функции $y = 2^{|x|}$, построенный в пункте 1. 2. Согласно правилу преобразования $y = f(x) + c$, сдвигаем график функции $y = 2^{|x|}$ параллельным переносом на $1$ единицу вверх вдоль оси $Oy$. **Таблица контрольных точек:** | $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y = 2^{|x|} + 1$ | $9$ | $5$ | $3$ | $2$ | $3$ | $5$ | $9$ | **Свойства графика:** - Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. - Область значений: $E(y) = [2; +\infty)$. - График симметричен относительно оси ординат $Oy$. - Точка минимума: $(0; 2)$. --- ### 3) Построение графика функции $y = |2^x - 1|$ **Алгоритм построения:** 1. Строим график показательной функции $y = 2^x$. 2. Сдвигаем его на $1$ единицу вниз вдоль оси $Oy$, получая график $y = 2^x - 1$. Для этой кривой горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$ является прямая $y = -1$, а нулем функции — точка $(0; 0)$. 3. Применяем преобразование $y = |f(x)|$: - часть графика, расположенную выше оси $Ox$ или на ней ($x \ge 0$), оставляем без изменений; - часть графика, расположенную ниже оси $Ox$ ($x < 0$), зеркально отражаем вверх относительно оси $Ox$. - При этом горизонтальная асимптота $y = -1$ при $x \to -\infty$ переходит в горизонтальную асимптоту $y = 1$. **Таблица контрольных точек:** | $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $2^x - 1$ | $-0{,}875$ | $-0{,}75$ | $-0{,}5$ | $0$ | $1$ | $3$ | $7$ | | $y = |2^x - 1|$ | $0{,}875$ | $0{,}75$ | $0{,}5$ | $0$ | $1$ | $3$ | $7$ | **Свойства графика:** - Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. - Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$. - Нуль функции (точка излома графика): $(0; 0)$. - Горизонтальная асимптота при $x \to -\infty$: прямая $y = 1$. --- ### 4) Построение графика функции $y = \left| \frac{1}{2^x} - 1 \right|$ Запишем функцию в виде: $$ y = \left| \left(\frac{1}{2}\right)^x - 1 \right| $$ **Алгоритм построения:** 1. Строим график убывающей показательной функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$. 2. Сдвигаем график на $1$ единицу вниз вдоль оси $Oy$, получая $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 1$. Горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$ — прямая $y = -1$, график проходит через точку $(0; 0)$. 3. Применяем преобразование $y = |f(x)|$: - часть графика при $x \le 0$ (где $y \ge 0$) оставляем без изменений; - часть графика при $x > 0$ (где $y < 0$) зеркально отражаем вверх относительно оси $Ox$. - Прямая $y = 1$ становится горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$. *(Замечание: график функции $y = \left| 2^{-x} - 1 \right|$ симметричен графику $y = |2^x - 1|$ из пункта 3 относительно оси $Oy$).* **Таблица контрольных точек:** | $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $\left(\frac{1}{2}\right)^x - 1$ | $7$ | $3$ | $1$ | $0$ | $-0{,}5$ | $-0{,}75$ | $-0{,}875$ | | $y = \left| \frac{1}{2^x} - 1 \right|$ | $7$ | $3$ | $1$ | $0$ | $0{,}5$ | $0{,}75$ | $0{,}875$ | **Свойства графика:** - Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. - Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$. - Нуль функции (точка излома графика): $(0; 0)$. - Горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$: прямая $y = 1$.