ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 10 - 10.30

1) Для графического определения количества корней уравнения $$ \left(\frac{1}{3}\right)^x = x^3 $$ построим в одной системе координат графики функций $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ и $y = x^3$. * Функция $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ — показательная с основанием $0 < \frac{1}{3} < 1$, она непрерывна и строго убывает на всей числовой прямой $\mathbb{R}$, принимая только положительные значения ($y > 0$). * Функция $y = x^3$ — кубическая парабола, непрерывна и строго возрастает на $\mathbb{R}$, её область значений — вся числовая прямая. Так как одна функция строго убывает, а вторая строго возрастает на $\mathbb{R}$, их графики могут иметь не более одной точки пересечения. Определим расположение точки пересечения: * при $x = 0$: $\left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1$, а $0^3 = 0$ ($1 > 0$); * при $x = 1$: $\left(\frac{1}{3}\right)^1 = \frac{1}{3}$, а $1^3 = 1$ ($\frac{1}{3} < 1$). Следовательно, на интервале $(0; 1)$ графики пересекаются ровно в одной точке. Ответ: 1 корень. --- 2) Построим в одной системе координат графики функций $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ и $y = \cos x$. * Область значений функции $y = \cos x$ есть отрезок $[-1; 1]$. * Для функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$: * при $x < 0$ имеем $\left(\frac{1}{3}\right)^x > 1$, а $\cos x \leqslant 1$, поэтому при $x < 0$ точек пересечения нет; * при $x = 0$: $\left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1$ и $\cos 0 = 1$, то есть точка $(0; 1)$ является общей (корень $x = 0$); * на интервале $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$: показательная функция убывает от $1$ быстрее, чем косинус, а в точке $x = \frac{\pi}{2}$ значение $\cos\frac{\pi}{2} = 0$, тогда как $\left(\frac{1}{3}\right)^{\pi/2} > 0$, поэтому графики пересекаются ещё в одной точке; * при $x \to +\infty$ показательная функция $\left(\frac{1}{3}\right)^x > 0$ стремится к нулю, оставаясь положительной, а волна косинусоиды $y = \cos x$ бесконечно много раз периодически колеблется от $-1$ до $1$. В каждой окрестности точек максимума косинуса $x = 2\pi k$ ($k \in \mathbb{N}$) график косинуса поднимается выше графика показательной функции и затем опускается ниже него. Таким образом, графики имеют бесконечно много точек пересечения при $x \geqslant 0$. Ответ: бесконечно много корней. --- 3) Построим в одной системе координат графики функций $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ и $y = 4 - \frac{3}{x}$. Функция $y = 4 - \frac{3}{x}$ определена при $x \ne 0$, её график — гипербола с вертикальной асимптотой $x = 0$ и горизонтальной асимптотой $y = 4$. Рассмотрим две области: 1. При $x > 0$: * функция $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ строго убывает от $1$ до $0$; * функция $y = 4 - \frac{3}{x}$ строго возрастает от $-\infty$ до $4$. Так как характер монотонности функций различен, на промежутке $(0; +\infty)$ может быть не более одной точки пересечения: * при $x \to 0^+$ значение $4 - \frac{3}{x} \to -\infty < \left(\frac{1}{3}\right)^x$; * при $x = 1$: $4 - \frac{3}{1} = 1$, а $\left(\frac{1}{3}\right)^1 = \frac{1}{3}$ ($1 > \frac{1}{3}$). Значит, на интервале $(0; 1)$ есть ровно одна точка пересечения. 2. При $x < 0$: * функция $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ строго убывает от $+\infty$ до $1$; * функция $y = 4 - \frac{3}{x}$ строго возрастает от $4$ до $+\infty$: * при $x = -2$: $\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9$, а $4 - \frac{3}{-2} = 5{,}5$ ($9 > 5{,}5$); * при $x = -1$: $\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3$, а $4 - \frac{3}{-1} = 7$ ($3 < 7$). Значит, на интервале $(-2; -1)$ есть ровно одна точка пересечения. Всего графики имеют две точки пересечения: одну при $x < 0$ и одну при $x > 0$. Ответ: 2 корня.