ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 10 - 10.29

1) $2^x = x$ Для графического определения количества корней построим в одной системе координат графики функций $y = 2^x$ и $y = x$. - $y = 2^x$ — показательная функция. График проходит через точки $(-1; 0,5)$, $(0; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 4)$ и расположен выше оси абсцисс ($2^x > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$). - $y = x$ — линейная функция, график — прямая (биссектриса I и III координатных четвертей), проходит через точки $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(2; 2)$. При $x \le 0$ имеем $2^x > 0$, а $x \le 0$, поэтому на этом промежутке корней нет. При $x > 0$ график показательной функции $y = 2^x$ лежит строго выше прямой $y = x$ (например, при $x = 1$: $2 > 1$; при $x = 2$: $4 > 2$). Графики не имеют общих точек, следовательно, уравнение не имеет корней. Ответ: корней нет (0 корней). --- 2) $2^x = x^2$ Построим в одной системе координат графики функций $y = 2^x$ и $y = x^2$. - $y = 2^x$ — возрастающая показательная функция, проходит через точки $(-1; 0,5)$, $(0; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 4)$, $(4; 16)$. - $y = x^2$ — квадратичная функция, график — парабола с вершиной в точке $(0; 0)$, проходит через точки $(-1; 1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(2; 4)$, $(4; 16)$. Определим точки пересечения графиков: - При $x < 0$ функция $y = 2^x$ возрастает от $0$ до $1$, а $y = x^2$ убывает от $+\infty$ до $0$. Графики пересекаются в одной точке (при $x \approx -0,77$). - При $x \ge 0$ графики пересекаются в двух точках с целочисленными абсциссами: при $x = 2$: $$2^2 = 2^2 = 4$$ при $x = 4$: $$2^4 = 4^2 = 16$$ Графики имеют 3 точки пересечения, следовательно, уравнение имеет 3 корня. Ответ: 3 корня. --- 3) $2^x = \sin x$ Построим в одной системе координат графики функций $y = 2^x$ и $y = \sin x$. - $y = 2^x$ — показательная функция, область значений $(0; +\infty)$. - $y = \sin x$ — тригонометрическая функция, область значений $[-1; 1]$. Анализ взаимного расположения графиков: - При $x \ge 0$ значение $2^x \ge 1$, в то время как $\sin x \le 1$. Равенство $2^x = 1$ достигается только при $x = 0$, но $\sin 0 = 0 \ne 1$. При $x > 0$ имеем $2^x > 1 \ge \sin x$, поэтому при $x \ge 0$ точек пересечения нет. - При $x < 0$ показательная функция принимает значения из интервала $(0; 1)$: $$0 < 2^x < 1$$ - Синусоида $y = \sin x$ при $x < 0$ периодически принимает положительные значения от $0$ до $1$ на каждом интервале вида: $$(-2\pi k; -(2k - 1)\pi), \quad k \in \mathbb{N}$$ На каждом таком интервале волна синусоиды поднимается от $0$ до $1$ и опускается обратно до $0$, дважды пересекая непрерывную линию $y = 2^x$. Так как отрицательных промежутков такого вида бесконечно много, графики имеют бесконечное множество точек пересечения. Ответ: бесконечно много корней. --- 4) $2^{-x} = 2 - x^2$ Построим в одной системе координат графики функций $y = 2^{-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ и $y = 2 - x^2$. - $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ — убывающая показательная функция, проходит через точки $(-1; 2)$, $(0; 1)$, $(1; 0,5)$. - $y = 2 - x^2$ — парабола с вершиной в точке $(0; 2)$, ветви направлены вниз. Проходит через точки $(-1; 1)$, $(0; 2)$, $(1; 1)$, пересекает ось абсцисс в точках $(-\sqrt{2}; 0)$ и $(\sqrt{2}; 0)$. Определим взаимное расположение графиков: - При $x \in (-1; 0)$ графики пересекаются, так как при $x = -1$ значение $2^{-(-1)} = 2 > 2 - (-1)^2 = 1$, а при $x = 0$ значение $2^0 = 1 < 2 - 0^2 = 2$. - При $x \in (1; \sqrt{2})$ графики пересекаются второй раз, так как при $x = 1$ значение $2^{-1} = 0,5 < 2 - 1^2 = 1$, а при $x = \sqrt{2}$ парабола обращается в ноль ($2 - (\sqrt{2})^2 = 0$), в то время как $2^{-\sqrt{2}} > 0$. - Вне промежутка $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$ парабола лежит ниже оси $Ox$, а показательная функция всегда положительна, поэтому других точек пересечения нет. Графики имеют 2 точки пересечения, следовательно, уравнение имеет 2 корня. Ответ: 2 корня.