ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 10 - 10.16

1) Упростим выражение: $$ \frac{(a^{2\sqrt{6}} - 1)(a^{\sqrt{6}} + a^{2\sqrt{6}} + a^{3\sqrt{6}})}{a^{4\sqrt{6}} - a^{\sqrt{6}}} $$ Вынесем в числителе за скобки общий множитель $a^{\sqrt{6}}$ во второй скобке: $$ a^{\sqrt{6}} + a^{2\sqrt{6}} + a^{3\sqrt{6}} = a^{\sqrt{6}}(1 + a^{\sqrt{6}} + a^{2\sqrt{6}}) $$ Разложим первую скобку числителя по формуле разности квадратов: $$ a^{2\sqrt{6}} - 1 = (a^{\sqrt{6}} - 1)(a^{\sqrt{6}} + 1) $$ Сгруппируем множители и применим формулу разности кубов $(x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1$, где $x = a^{\sqrt{6}}$: $$ (a^{\sqrt{6}} - 1)(a^{2\sqrt{6}} + a^{\sqrt{6}} + 1) = (a^{\sqrt{6}})^3 - 1^3 = a^{3\sqrt{6}} - 1 $$ Тогда числитель примет вид: $$ a^{\sqrt{6}}(a^{\sqrt{6}} + 1)(a^{3\sqrt{6}} - 1) $$ В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a^{\sqrt{6}}$: $$ a^{4\sqrt{6}} - a^{\sqrt{6}} = a^{\sqrt{6}}(a^{3\sqrt{6}} - 1) $$ Подставим полученные выражения в дробь и сократим на одинаковые множители $a^{\sqrt{6}}(a^{3\sqrt{6}} - 1)$: $$ \frac{a^{\sqrt{6}}(a^{\sqrt{6}} + 1)(a^{3\sqrt{6}} - 1)}{a^{\sqrt{6}}(a^{3\sqrt{6}} - 1)} = a^{\sqrt{6}} + 1 $$ Ответ: $a^{\sqrt{6}} + 1$. --- 2) Упростим выражение: $$ \left((a^\pi + b^\pi)^2 - (a^\pi - b^\pi)^2\right)^{\frac{1}{\pi}} $$ Раскроем скобки внутри внешних скобок, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: $$ (a^\pi + b^\pi)^2 = a^{2\pi} + 2a^\pi b^\pi + b^{2\pi} $$ $$ (a^\pi - b^\pi)^2 = a^{2\pi} - 2a^\pi b^\pi + b^{2\pi} $$ Найдем их разность: $$ (a^\pi + b^\pi)^2 - (a^\pi - b^\pi)^2 = a^{2\pi} + 2a^\pi b^\pi + b^{2\pi} - (a^{2\pi} - 2a^\pi b^\pi + b^{2\pi}) = 4a^\pi b^\pi $$ Возведем полученное произведение в степень $\frac{1}{\pi}$, используя свойство степени произведения $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и степени степени $(x^m)^n = x^{mn}$: $$ (4a^\pi b^\pi)^{\frac{1}{\pi}} = 4^{\frac{1}{\pi}} \cdot (a^\pi)^{\frac{1}{\pi}} \cdot (b^\pi)^{\frac{1}{\pi}} = 4^{\frac{1}{\pi}} a b $$ Число $4^{\frac{1}{\pi}}$ также можно записать как $(2^2)^{\frac{1}{\pi}} = 2^{\frac{2}{\pi}}$. Ответ: $4^{\frac{1}{\pi}}ab$ (или $2^{\frac{2}{\pi}}ab$).