ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 10 - 10.15

1) Воспользуемся формулами разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ и квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$: $$ (a^{\sqrt{5}} + 2)(a^{\sqrt{5}} - 2) - (a^{\sqrt{5}} + 3)^2 = \left((a^{\sqrt{5}})^2 - 2^2\right) - \left((a^{\sqrt{5}})^2 + 2 \cdot 3 \cdot a^{\sqrt{5}} + 3^2\right) $$ Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $$ = (a^{2\sqrt{5}} - 4) - (a^{2\sqrt{5}} + 6a^{\sqrt{5}} + 9) = a^{2\sqrt{5}} - 4 - a^{2\sqrt{5}} - 6a^{\sqrt{5}} - 9 = -6a^{\sqrt{5}} - 13 $$ Ответ: $-6a^{\sqrt{5}} - 13$. 2) Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени в числителе и знаменателе: $$ \frac{a^{2\sqrt{7}} - a^{\sqrt{7}}}{a^{4\sqrt{7}} - a^{3\sqrt{7}}} = \frac{a^{\sqrt{7}}(a^{\sqrt{7}} - 1)}{a^{3\sqrt{7}}(a^{\sqrt{7}} - 1)} $$ Сократим дробь на общий множитель $(a^{\sqrt{7}} - 1)$: $$ = \frac{a^{\sqrt{7}}}{a^{3\sqrt{7}}} = \frac{1}{a^{3\sqrt{7} - \sqrt{7}}} = \frac{1}{a^{2\sqrt{7}}} = a^{-2\sqrt{7}} $$ Ответ: $\frac{1}{a^{2\sqrt{7}}}$ (или $a^{-2\sqrt{7}}$). 3) Разложим числитель дроби по формуле разности квадратов: $$ a^{2\sqrt{3}} - b^{2\sqrt{2}} = (a^{\sqrt{3}})^2 - (b^{\sqrt{2}})^2 = (a^{\sqrt{3}} - b^{\sqrt{2}})(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}) $$ Подставим разложение в исходное выражение и сократим дробь на $(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}})$: $$ \frac{(a^{\sqrt{3}} - b^{\sqrt{2}})(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}})}{\left(a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}\right)^2} + 1 = \frac{a^{\sqrt{3}} - b^{\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}} + 1 $$ Приведем слагаемые к общему знаменателю: $$ = \frac{a^{\sqrt{3}} - b^{\sqrt{2}} + (a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}})}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}} = \frac{2a^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}} $$ Ответ: $\frac{2a^{\sqrt{3}}}{a^{\sqrt{3}} + b^{\sqrt{2}}}$. 4) Упростим показатели степеней, вынеся множители из-под знака кубического корня: $$ \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3} $$ $$ \sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{27 \cdot 3} = 3\sqrt[3]{3} $$ Тогда выражение принимает вид: $$ \frac{a^{2\sqrt[3]{3}} - 1}{a^{\sqrt[3]{3}} - 1} - \frac{a^{3\sqrt[3]{3}} + 1}{a^{\sqrt[3]{3}} + 1} $$ Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов, а числитель второй дроби — по формуле суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$: $$ = \frac{(a^{\sqrt[3]{3}} - 1)(a^{\sqrt[3]{3}} + 1)}{a^{\sqrt[3]{3}} - 1} - \frac{(a^{\sqrt[3]{3}} + 1)(a^{2\sqrt[3]{3}} - a^{\sqrt[3]{3}} + 1)}{a^{\sqrt[3]{3}} + 1} $$ Сократим каждую дробь: $$ = (a^{\sqrt[3]{3}} + 1) - (a^{2\sqrt[3]{3}} - a^{\sqrt[3]{3}} + 1) $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ = a^{\sqrt[3]{3}} + 1 - a^{2\sqrt[3]{3}} + a^{\sqrt[3]{3}} - 1 = 2a^{\sqrt[3]{3}} - a^{2\sqrt[3]{3}} $$ Ответ: $2a^{\sqrt[3]{3}} - a^{2\sqrt[3]{3}}$ (или $a^{\sqrt[3]{3}}(2 - a^{\sqrt[3]{3}})$).