ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / подготовка к экзамену - 37

Пусть масса каждого из отрезанных кусков равна $x$ кг ($0 < x < m$, $0 < x < n$). Обозначим концентрацию (долю) меди в первом куске сплава через $c_1$, а во втором куске — через $c_2$. По условию задачи процентное содержание меди в сплавах различно, то есть $c_1 \neq c_2$. 1. Отрезав от первого куска кусок массой $x$ кг, получаем остаток первого куска массой $(m - x)$ кг, в котором содержится $(m - x)c_1$ кг меди. 2. Отрезав от второго куска кусок массой $x$ кг, получаем остаток второго куска массой $(n - x)$ кг, в котором содержится $(n - x)c_2$ кг меди. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого: - Масса первого нового сплава составляет $(m - x) + x = m$ кг. В нём содержится $(m - x)c_1 + x c_2$ кг меди, а доля меди равна: $$ \frac{(m - x)c_1 + x c_2}{m} $$ - Масса второго нового сплава составляет $(n - x) + x = n$ кг. В нём содержится $(n - x)c_2 + x c_1$ кг меди, а доля меди равна: $$ \frac{(n - x)c_2 + x c_1}{n} $$ По условию процентное (и, следовательно, долевое) содержание меди в обоих полученных сплавах стало одинаковым. Составим уравнение: $$ \frac{(m - x)c_1 + x c_2}{m} = \frac{(n - x)c_2 + x c_1}{n} $$ Преобразуем обе части уравнения, почленно разделив числители на знаменатели: $$ \frac{m c_1 - x c_1 + x c_2}{m} = \frac{n c_2 - x c_2 + x c_1}{n} $$ $$ c_1 + \frac{x(c_2 - c_1)}{m} = c_2 + \frac{x(c_1 - c_2)}{n} $$ Сгруппируем слагаемые: $$ c_1 - c_2 = \frac{x(c_1 - c_2)}{n} - \frac{x(c_2 - c_1)}{m} $$ $$ c_1 - c_2 = \frac{x(c_1 - c_2)}{n} + \frac{x(c_1 - c_2)}{m} $$ Вынесем общий множитель $x(c_1 - c_2)$ в правой части: $$ c_1 - c_2 = x(c_1 - c_2)\left(\frac{1}{n} + \frac{1}{m}\right) $$ Так как исходное содержание меди в кусках различно, то $c_1 \neq c_2$, следовательно, $c_1 - c_2 \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $(c_1 - c_2)$: $$ 1 = x\left(\frac{1}{n} + \frac{1}{m}\right) $$ $$ 1 = x \cdot \frac{m + n}{mn} $$ Отсюда находим $x$: $$ x = \frac{mn}{m + n} $$ Так как $m > 0$ и $n > 0$, значение $\frac{mn}{m + n}$ положительно, причем $\frac{mn}{m + n} < m$ и $\frac{mn}{m + n} < n$, что удовлетворяет условию задачи. Ответ: $\frac{mn}{m + n}$ кг.