ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / подготовка к экзамену - 38

Пусть $s$ — расстояние между пунктами $A$ и $B$ (в км), где $s > 0$. Обозначим скорость первого велосипедиста через $v_1$ км/ч, а скорость второго — через $v_2$ км/ч. Поскольку первый велосипедист обогнал второго, $v_1 > v_2$. Так как оба велосипедиста выехали одновременно и двигались с постоянными скоростями, отношение путей, пройденных ими за один и тот же промежуток времени, равно отношению их скоростей: $$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{v_1}{v_2} $$ **1. Первая встреча велосипедистов** К моменту первой встречи: * Первый велосипедист доехал от пункта $A$ до пункта $B$ и проехал в обратном направлении расстояние $a$ км. Его путь равен: $$ S_1^{(1)} = s + a $$ * Второй велосипедист двигался из пункта $A$ в пункт $B$ и не доехал до пункта $B$ на расстояние $a$ км. Его путь равен: $$ S_2^{(1)} = s - a $$ Составим отношение скоростей: $$ \frac{v_1}{v_2} = \frac{s + a}{s - a} $$ **2. Вторая встреча велосипедистов** К моменту второй встречи: * Первый велосипедист проехал путь от $A$ до $B$ (расстояние $s$), вернулся обратно в пункт $A$ (расстояние $s$) и снова поехал по направлению к $B$, пройдя $k$-ю часть расстояния от $A$ до $B$, то есть $\frac{s}{k}$. Общий путь первого велосипедиста равен: $$ S_1^{(2)} = s + s + \frac{s}{k} = 2s + \frac{s}{k} $$ * Место второй встречи находится на расстоянии $\frac{s}{k}$ от пункта $A$ (и, соответственно, на расстоянии $s - \frac{s}{k}$ от пункта $B$). * Второй велосипедист к этому моменту уже достиг пункта $B$ и двигался обратно к пункту $A$. Значит, он проехал путь от $A$ до $B$ (расстояние $s$) и расстояние от пункта $B$ до места встречи ($s - \frac{s}{k}$). Общий путь второго велосипедиста равен: $$ S_2^{(2)} = s + \left(s - \frac{s}{k}\right) = 2s - \frac{s}{k} $$ Найдем отношение путей к моменту второй встречи: $$ \frac{S_1^{(2)}}{S_2^{(2)}} = \frac{2s + \frac{s}{k}}{2s - \frac{s}{k}} = \frac{s\left(2 + \frac{1}{k}\right)}{s\left(2 - \frac{1}{k}\right)} = \frac{\frac{2k + 1}{k}}{\frac{2k - 1}{k}} = \frac{2k + 1}{2k - 1} $$ **3. Составление и решение уравнения** Так как отношение скоростей постоянно, приравняем полученные выражения для $\frac{v_1}{v_2}$: $$ \frac{s + a}{s - a} = \frac{2k + 1}{2k - 1} $$ Используя основное свойство пропорции: $$ (s + a)(2k - 1) = (s - a)(2k + 1) $$ Раскроем скобки: $$ 2ks - s + 2ak - a = 2ks + s - 2ak - a $$ Вычтем $2ks - a$ из обеих частей уравнения: $$ -s + 2ak = s - 2ak $$ $$ 2s = 4ak $$ $$ s = 2ak $$ Ответ: $s = 2ak$ км.