ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / подготовка к экзамену - 29

Пусть масса первоначального раствора равна $m$ г, где $m > 0$. Так как в растворе содержалось $39$ г соли, первоначальная концентрация соли составляла: $$ \frac{39}{m} $$ После того как к раствору добавили $1000$ г воды, масса нового раствора стала равна $(m + 1000)$ г. Новая концентрация соли составила: $$ \frac{39}{m + 1000} $$ По условию задачи, после добавления воды концентрация соли уменьшилась на $10\%$ (что составляет $0{,}1$ в долях). Составим уравнение: $$ \frac{39}{m} - \frac{39}{m + 1000} = 0{,}1 $$ Разделим обе части уравнения на $0{,}1$ (или умножим на $10$): $$ \frac{390}{m} - \frac{390}{m + 1000} = 1 $$ Приведем дроби в левой части к общему знаменателю: $$ \frac{390(m + 1000) - 390m}{m(m + 1000)} = 1 $$ $$ \frac{390m + 390000 - 390m}{m^2 + 1000m} = 1 $$ $$ \frac{390000}{m^2 + 1000m} = 1 $$ Умножим обе части уравнения на $m(m + 1000) \neq 0$: $$ m^2 + 1000m - 390000 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант: $$ D = 1000^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-390000) = 1000000 + 1560000 = 2560000 = 1600^2 $$ $$ m_1 = \frac{-1000 + 1600}{2} = \frac{600}{2} = 300 $$ $$ m_2 = \frac{-1000 - 1600}{2} = -1300 $$ Корень $m_2 = -1300$ не подходит по смыслу задачи, так как масса раствора не может быть отрицательной. Значит, первоначальная масса раствора равна $300$ г. Найдем первоначальную процентную концентрацию соли в растворе: $$ \frac{39}{300} \cdot 100\% = \frac{39}{3}\% = 13\% $$ Ответ: $13\%$.