ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / подготовка к экзамену - 27

Примем объём бассейна за $1$. Пусть $x$ ч — время, за которое бассейн наполняется только второй трубой. Так как первой трубой бассейн наполняется на $8$ ч быстрее, то время её работы составляет $(x - 8)$ ч (при этом $x > 8$). Тогда: * производительность первой трубы равна $\frac{1}{x - 8}$ бассейна в час; * производительность второй трубы равна $\frac{1}{x}$ бассейна в час. Обе трубы, работая одновременно, наполняют бассейн за $7,5\text{ ч} = 7\frac{1}{2}\text{ ч} = \frac{15}{2}\text{ ч}$. Их совместная производительность равна: $$ 1 : \frac{15}{2} = \frac{2}{15} $$ Составим уравнение по условию задачи: $$ \frac{1}{x - 8} + \frac{1}{x} = \frac{2}{15} $$ Приведём дроби в левой части к общему знаменателю: $$ \frac{x + x - 8}{x(x - 8)} = \frac{2}{15} $$ $$ \frac{2x - 8}{x^2 - 8x} = \frac{2}{15} $$ Разделим обе части равенства на $2$: $$ \frac{x - 4}{x^2 - 8x} = \frac{1}{15} $$ По основному свойству пропорции при $x > 8$: $$ x^2 - 8x = 15(x - 4) $$ $$ x^2 - 8x = 15x - 60 $$ $$ x^2 - 23x + 60 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение: $$ D = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 529 - 240 = 289 = 17^2 $$ $$ x_1 = \frac{23 + 17}{2} = \frac{40}{2} = 20 $$ $$ x_2 = \frac{23 - 17}{2} = \frac{6}{2} = 3 $$ Корень $x_2 = 3$ не удовлетворяет условию $x > 8$, так как время работы первой трубы не может быть отрицательным ($3 - 8 = -5 < 0$). Значит, второй трубой бассейн будет наполняться $20$ ч. Ответ: 20 ч.