ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / подготовка к экзамену - 24

Решим неравенство: $$ x^2 + x - 10 < 2|x - 2| $$ Раскроем знак модуля, рассмотрев два случая. **1 случай:** $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. В этом случае $|x - 2| = x - 2$. Получаем систему: $$ \begin{cases} x \ge 2, \\ x^2 + x - 10 < 2(x - 2) \end{cases} $$ Преобразуем второе неравенство: $$ x^2 + x - 10 < 2x - 4 $$ $$ x^2 - x - 6 < 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 6 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = -2$, $x_2 = 3$. Решением квадратного неравенства является интервал: $x \in (-2; 3)$. Пересечем полученный интервал с условием $x \ge 2$: $$ \begin{cases} x \ge 2 \\ -2 < x < 3 \end{cases} \implies 2 \le x < 3 $$ Таким образом, для первого случая решением является полуинтервал $[2; 3)$. --- **2 случай:** $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$. В этом случае $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$. Получаем систему: $$ \begin{cases} x < 2, \\ x^2 + x - 10 < 2(2 - x) \end{cases} $$ Преобразуем второе неравенство: $$ x^2 + x - 10 < 4 - 2x $$ $$ x^2 + 3x - 14 < 0 $$ Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 14 = 0$: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 9 + 56 = 65 $$ $$ x_{1, 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{65}}{2} $$ Решением квадратного неравенства является интервал: $$ x \in \left(\frac{-3 - \sqrt{65}}{2}; \frac{-3 + \sqrt{65}}{2}\right) $$ Оценим правый корень: так как $8 < \sqrt{65} < 9$, то: $$ \frac{-3 + \sqrt{65}}{2} > \frac{-3 + 8}{2} = 2{,}5 $$ Пересечем найденный интервал с условием $x < 2$: $$ x \in \left(\frac{-3 - \sqrt{65}}{2}; 2\right) $$ --- **Объединение решений:** Объединим результаты двух случаев: $$ x \in \left(\frac{-3 - \sqrt{65}}{2}; 2\right) \cup [2; 3) = \left(\frac{-3 - \sqrt{65}}{2}; 3\right) $$ Множество целых решений неравенства вблизи правой границы интервала: $\dots, 0, 1, 2$. Так как правая граница интервала равна $3$ и является строго не включенной ($x < 3$), наибольшим целым числом, удовлетворяющим неравенству, является $x = 2$. Ответ: 2