ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / подготовка к экзамену - 22

Решим неравенство: $$ |x^2 - 8x + 15| < x - 3 $$ Неравенство вида $|f(x)| < g(x)$ равносильно двойному неравенству $-g(x) < f(x) < g(x)$, то есть системе неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - 8x + 15 < x - 3 \\ x^2 - 8x + 15 > -(x - 3) \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $$ x^2 - 8x + 15 < x - 3 $$ $$ x^2 - 9x + 18 < 0 $$ Разложим левую часть на множители, найдя корни уравнения $x^2 - 9x + 18 = 0$: По теореме Виета $x_1 = 3$, $x_2 = 6$. $$ (x - 3)(x - 6) < 0 $$ Решением первого неравенства является интервал: $$ 3 < x < 6 $$ Решим второе неравенство системы: $$ x^2 - 8x + 15 > -x + 3 $$ $$ x^2 - 7x + 12 > 0 $$ Разложим левую часть на множители, найдя корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$: По теореме Виета $x_1 = 3$, $x_2 = 4$. $$ (x - 3)(x - 4) > 0 $$ Решением второго неравенства является объединение промежутков: $$ x < 3 \quad \text{или} \quad x > 4 $$ Найдем пересечение решений обоих неравенств: $$ \begin{cases} 3 < x < 6 \\ \left[ \begin{gathered} x < 3 \\ x > 4 \end{gathered} \right. \end{cases} $$ Промежуток $x < 3$ не пересекается с интервалом $(3; 6)$. Пересечением условий $x > 4$ и $3 < x < 6$ является интервал: $$ 4 < x < 6 $$ Ответ: $4 < x < 6$.