ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / подготовка к экзамену - 23

Решим неравенство: $$ |x|(x^2 - 2x - 3) \geqslant 0 $$ Разложим квадратный трёхчлен $x^2 - 2x - 3$ на множители. Для этого найдём его корни, решив уравнение $x^2 - 2x - 3 = 0$: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 = 4^2 $$ $$ x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3 $$ Следовательно, $x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$. Неравенство принимает вид: $$ |x|(x + 1)(x - 3) \geqslant 0 $$ По определению модуля $|x| \geqslant 0$ при любых действительных $x$. Рассмотрим два случая: 1. Если $|x| = 0$, то есть $x = 0$: При $x = 0$ левая часть равна $0 \cdot (0 + 1)(0 - 3) = 0$, неравенство $0 \geqslant 0$ верно. Значит, $x = 0$ является решением. 2. Если $x \neq 0$, то $|x| > 0$. Разделим обе части неравенства на положительное выражение $|x|$, при этом знак неравенства не изменится: $$ (x + 1)(x - 3) \geqslant 0 $$ Решим полученное неравенство методом интервалов: - Корни выражения: $x = -1$ и $x = 3$. - Знаки на промежутках: - при $x > 3$: выражение положительно $(+)$; - при $-1 < x < 3$ ($x \neq 0$): выражение отрицательно $(-)$; - при $x < -1$: выражение положительно $(+)$. С учётом нестрогого знака неравенства решением являются: $$ x \leqslant -1 \quad \text{или} \quad x \geqslant 3 $$ Объединяя решение $x = 0$ и решения из второго случая, получаем: $$ x \leqslant -1; \quad x = 0; \quad x \geqslant 3 $$ Ответ: $x \leqslant -1$; $x = 0$; $x \geqslant 3$ (или $x \in (-\infty; -1] \cup \{0\} \cup [3; +\infty)$).