ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / подготовка к экзамену - 20

Решим неравенство: $$ \frac{4 - x}{x - 5} > \frac{1}{1 - x} $$ Перенесём слагаемое из правой части в левую: $$ \frac{4 - x}{x - 5} - \frac{1}{1 - x} > 0 $$ Приведём дроби к общему знаменателю: $$ \frac{(4 - x)(1 - x) - (x - 5)}{(x - 5)(1 - x)} > 0 $$ Раскроем скобки в числителе и упростим его: $$ \frac{4 - 4x - x + x^2 - x + 5}{(x - 5)(1 - x)} > 0 $$ $$ \frac{x^2 - 6x + 9}{(x - 5)(1 - x)} > 0 $$ Выделим полный квадрат в числителе, а в знаменателе вынесем минус за скобки: $$ \frac{(x - 3)^2}{-(x - 5)(x - 1)} > 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив при этом знак неравенства: $$ \frac{(x - 3)^2}{(x - 1)(x - 5)} < 0 $$ Для любого $x \neq 3$ выражение $(x - 3)^2 > 0$. При $x = 3$ числитель обращается в ноль, что не удовлетворяет строгому неравенству ($0 < 0$ — неверно). Следовательно, точка $x = 3$ не является решением, а при всех остальных допустимых $x$ знак дроби определяется только знаменателем: $$ \begin{cases} (x - 1)(x - 5) < 0, \\ x \neq 3 \end{cases} $$ Решением неравенства $(x - 1)(x - 5) < 0$ является интервал: $$ 1 < x < 5 $$ Исключая точку $x = 3$, получаем: $$ 1 < x < 3 \quad \text{или} \quad 3 < x < 5 $$ Ответ: $1 < x < 3$; $3 < x < 5$ (или $x \in (1; 3) \cup (3; 5)$).