ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / подготовка к экзамену - 19

19. [5] Решим неравенство: $$ (x^3 - 1)(x^4 - 16) < 0 $$ Разложим множители левой части неравенства: 1. По формуле разности кубов: $$ x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) $$ 2. По формуле разности квадратов: $$ x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) $$ Подставим полученные разложения в исходное неравенство: $$ (x - 1)(x^2 + x + 1)(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) < 0 $$ Оценим знаки квадратных трехчленов: - Для трехчлена $x^2 + x + 1$ дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, старший коэффициент $1 > 0$, следовательно, $x^2 + x + 1 > 0$ при любых действительных значениях $x$. - Выражение $x^2 + 4 \ge 4 > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$. Разделим обе части неравенства на положительное выражение $(x^2 + x + 1)(x^2 + 4)$: $$ (x + 2)(x - 1)(x - 2) < 0 $$ Применим метод интервалов: 1. Нули функции $f(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 2)$: $$ x_1 = -2, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = 2 $$ 2. Отметим эти точки на числовой прямой выколотыми точками (так как неравенство строгое) и определим знаки выражения на получившихся интервалах: - при $x \in (2; +\infty)$ выражение принимает знак «$+$»; - при $x \in (1; 2)$ выражение принимает знак «$-$»; - при $x \in (-2; 1)$ выражение принимает знак «$+$»; - при $x \in (-\infty; -2)$ выражение принимает знак «$-$». Нам требуются промежутки, где выражение меньше нуля (знак «$-$»). Получаем: $x < -2$ или $1 < x < 2$. Ответ: $x < -2$; $1 < x < 2$ (или $x \in (-\infty; -2) \cup (1; 2)$).