ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / задание для интересующихся математикой - 15

**15.** Решите уравнение: $$ \frac{1}{\cos x \cos 2x} + \frac{1}{\cos 2x \cos 3x} + \frac{1}{\cos 3x \cos 4x} = 0. $$ **Решение:** 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** Знаменатели дробей не должны обращаться в нуль: $$ \begin{cases} \cos x \neq 0, \\ \cos 2x \neq 0, \\ \cos 3x \neq 0, \\ \cos 4x \neq 0. \end{cases} $$ 2. **Проверка условия $\sin x = 0$:** Если $\sin x = 0$, то $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. При таких $x$: - $\cos x = \pm 1$, - $\cos 2x = 1$, - $\cos 3x = \pm 1$, - $\cos 4x = 1$. Подставив эти значения в исходное уравнение, получим: $$ \frac{1}{\pm 1 \cdot 1} + \frac{1}{1 \cdot (\pm 1)} + \frac{1}{\pm 1 \cdot 1} = \pm 1 \pm 1 \pm 1 = \pm 3 \neq 0. $$ Значит, числа вида $x = \pi k$ не являются корнями уравнения, то есть $\sin x \neq 0$. 3. **Преобразование уравнения:** Умножим обе части исходного уравнения на $\sin x \neq 0$: $$ \frac{\sin x}{\cos x \cos 2x} + \frac{\sin x}{\cos 2x \cos 3x} + \frac{\sin x}{\cos 3x \cos 4x} = 0. $$ Воспользуемся тригонометрическим тождеством для разности тангенсов: $$ \tan((k+1)x) - \tan(kx) = \frac{\sin((k+1)x - kx)}{\cos((k+1)x) \cos(kx)} = \frac{\sin x}{\cos(kx) \cos((k+1)x)}. $$ Применим эту формулу к каждому слагаемому: - при $k = 1$: $\dfrac{\sin x}{\cos x \cos 2x} = \tan 2x - \tan x$; - при $k = 2$: $\dfrac{\sin x}{\cos 2x \cos 3x} = \tan 3x - \tan 2x$; - при $k = 3$: $\dfrac{\sin x}{\cos 3x \cos 4x} = \tan 4x - \tan 3x$. Подставим полученные выражения в уравнение: $$ (\tan 2x - \tan x) + (\tan 3x - \tan 2x) + (\tan 4x - \tan 3x) = 0. $$ После взаимного уничтожения слагаемых получаем: $$ \tan 4x - \tan x = 0. $$ Преобразуем разность тангенсов: $$ \frac{\sin(4x - x)}{\cos 4x \cos x} = 0, $$ $$ \frac{\sin 3x}{\cos 4x \cos x} = 0. $$ Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля: $$ \sin 3x = 0 \implies 3x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}. $$ 4. **Отбор корней с учётом ОДЗ и условия $\sin x \neq 0$:** Представим целое число $k$ при делении на $3$: - Если $k$ делится на $3$, то есть $k = 3n$ ($n \in \mathbb{Z}$), то $x = \pi n$. Для этих значений $\sin x = 0$, поэтому они посторонние. - Если $k$ не делится на $3$, то есть $k = 3n \pm 1$ ($n \in \mathbb{Z}$), то: $$ x = \frac{\pi(3n \pm 1)}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. $$ Проверим выполнение условий ОДЗ для $x = \pm \dfrac{\pi}{3} + \pi n$: - $\cos x = \cos\left(\pm \dfrac{\pi}{3} + \pi n\right) = \pm \dfrac{1}{2} \neq 0$; - $\cos 2x = \cos\left(\pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n\right) = -\dfrac{1}{2} \neq 0$; - $\cos 3x = \cos(\pm \pi + 3\pi n) = \pm 1 \neq 0$; - $\cos 4x = \cos\left(\pm \dfrac{4\pi}{3} + 4\pi n\right) = -\dfrac{1}{2} \neq 0$. Все условия ОДЗ выполняются. Ответ: $\pm \dfrac{\pi}{3} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$.