ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / задание для интересующихся математикой - 14

14. Решим тригонометрическое уравнение: $$ \operatorname{tg} x + 8|\operatorname{ctg} x| + \operatorname{ctg} 2x = 0 $$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ):** Функции $\operatorname{tg} x$, $\operatorname{ctg} x$ и $\operatorname{ctg} 2x$ определены при условиях: $$ \begin{cases} \cos x \neq 0, \\ \sin x \neq 0, \\ \sin 2x \neq 0 \end{cases} \iff \sin 2x \neq 0 \iff 2x \neq \pi k \iff x \neq \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **2. Преобразование уравнения:** Воспользуемся тригонометрическим тождеством для котангенса двойного угла: $$ \operatorname{ctg} 2x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{2\sin x \cos x} = \frac{1}{2}(\operatorname{ctg} x - \operatorname{tg} x) $$ Подставим это выражение в исходное уравнение: $$ \operatorname{tg} x + 8|\operatorname{ctg} x| + \frac{1}{2}\operatorname{ctg} x - \frac{1}{2}\operatorname{tg} x = 0 $$ $$ \frac{1}{2}\operatorname{tg} x + \frac{1}{2}\operatorname{ctg} x + 8|\operatorname{ctg} x| = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $2$: $$ \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x + 16|\operatorname{ctg} x| = 0 $$ Так как $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$, выполним замену переменной $t = \operatorname{tg} x$ (где $t \neq 0$): $$ t + \frac{1}{t} + 16\left|\frac{1}{t}\right| = 0 $$ **3. Раскрытие модуля:** * **Случай 1:** $t > 0$. Тогда $\left|\frac{1}{t}\right| = \frac{1}{t}$, и уравнение принимает вид: $$ t + \frac{1}{t} + \frac{16}{t} = 0 \iff t + \frac{17}{t} = 0 $$ Умножив на $t > 0$, получаем: $$ t^2 + 17 = 0 $$ Данное уравнение не имеет действительных корней, так как $t^2 + 17 > 0$ при всех действительных $t$. * **Случай 2:** $t < 0$. Тогда $\left|\frac{1}{t}\right| = -\frac{1}{t}$, и уравнение принимает вид: $$ t + \frac{1}{t} - \frac{16}{t} = 0 \iff t - \frac{15}{t} = 0 $$ Умножив на $t \neq 0$, получаем: $$ t^2 - 15 = 0 \iff t^2 = 15 $$ Учитывая условие $t < 0$: $$ t = -\sqrt{15} $$ **4. Обратная замена:** $$ \operatorname{tg} x = -\sqrt{15} \implies x = -\operatorname{arctg}\sqrt{15} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Выразим полученный угол через арккосинус. Пусть $\alpha = \arccos \frac{1}{4}$. Так как $\frac{1}{4} \in (0; 1)$, угол $\alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$. Тогда: $$ \cos \alpha = \frac{1}{4} $$ $$ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} $$ $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}} = \sqrt{15} $$ Следовательно, $\operatorname{arctg}\sqrt{15} = \arccos \frac{1}{4}$. Подставим это значение в серию решений: $$ x = -\arccos \frac{1}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Все найденные значения входят в ОДЗ уравнения. Ответ: $x = -\arccos \frac{1}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.