ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / задание для интересующихся математикой - 18

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: $$ \sin^2 4x - 2 \sin 4x \cos^4 x + \cos^2 x = 0 $$ Выделим полный квадрат относительно $\sin 4x$: $$ (\sin^2 4x - 2 \sin 4x \cos^4 x + \cos^8 x) - \cos^8 x + \cos^2 x = 0 $$ $$ (\sin 4x - \cos^4 x)^2 + \cos^2 x (1 - \cos^6 x) = 0 $$ Оценим слагаемые в левой части уравнения: 1. $(\sin 4x - \cos^4 x)^2 \ge 0$ как квадрат вещественного числа; 2. Так как $|\cos x| \le 1$, то $\cos^2 x \ge 0$ и $\cos^6 x \le 1$, откуда $1 - \cos^6 x \ge 0$. Следовательно, $\cos^2 x (1 - \cos^6 x) \ge 0$. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них одновременно равно нулю: $$ \begin{cases} \sin 4x - \cos^4 x = 0, \\ \cos^2 x (1 - \cos^6 x) = 0. \end{cases} $$ Решим второе уравнение системы: $$ \cos^2 x (1 - \cos^6 x) = 0 \iff \cos x = 0 \quad \text{или} \quad \cos^2 x = 1 $$ Рассмотрим два возможных случая: 1) $\cos x = 0$. Тогда $\cos^4 x = 0$. Подставим это значение в первое уравнение системы: $$ \sin 4x - 0 = 0 \implies \sin 4x = 0 $$ Из условия $\cos x = 0$ получаем: $$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbf{Z} $$ Проверим, выполняется ли для этих значений равенство $\sin 4x = 0$: $$ \sin 4x = \sin\left(4\left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right)\right) = \sin(2\pi + 4\pi n) = 0 $$ Равенство верно, следовательно, серия $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \; n \in \mathbf{Z}$ является решением системы. 2) $\cos^2 x = 1$. Тогда $\cos^4 x = 1$. Подставим это значение в первое уравнение системы: $$ \sin 4x - 1 = 0 \implies \sin 4x = 1 $$ Из условия $\cos^2 x = 1$ следует, что: $$ x = \pi k, \quad k \in \mathbf{Z} $$ Проверим выполнение равенства $\sin 4x = 1$ для этих значений: $$ \sin 4x = \sin(4\pi k) = 0 \neq 1 $$ Значит, в этом случае решений нет. Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n, \; n \in \mathbf{Z}$.