ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / задание для интересующихся математикой - 12

12. Решим тригонометрическое уравнение: $$ \cos^2 2x + \cos^2 4x = \sin^2 x + \sin^2 5x $$ Применим формулы понижения степени: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$ и $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$. Подставим их в уравнение: $$ \frac{1 + \cos 4x}{2} + \frac{1 + \cos 8x}{2} = \frac{1 - \cos 2x}{2} + \frac{1 - \cos 10x}{2} $$ Умножим обе части уравнения на 2: $$ 1 + \cos 4x + 1 + \cos 8x = 1 - \cos 2x + 1 - \cos 10x $$ $$ 2 + \cos 4x + \cos 8x = 2 - \cos 2x - \cos 10x $$ Вычтем 2 из обеих частей и перенесем все слагаемые в левую часть: $$ \cos 10x + \cos 8x + \cos 4x + \cos 2x = 0 $$ Сгруппируем слагаемые: $$ (\cos 10x + \cos 2x) + (\cos 8x + \cos 4x) = 0 $$ Используем формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$: $$ 2 \cos \frac{10x + 2x}{2} \cos \frac{10x - 2x}{2} + 2 \cos \frac{8x + 4x}{2} \cos \frac{8x - 4x}{2} = 0 $$ $$ 2 \cos 6x \cos 4x + 2 \cos 6x \cos 2x = 0 $$ Вынесем общий множитель $2 \cos 6x$ за скобки: $$ 2 \cos 6x (\cos 4x + \cos 2x) = 0 $$ Снова применим формулу суммы косинусов к выражению в скобках: $$ \cos 4x + \cos 2x = 2 \cos \frac{4x + 2x}{2} \cos \frac{4x - 2x}{2} = 2 \cos 3x \cos x $$ Уравнение принимает вид: $$ 2 \cos 6x \cdot 2 \cos 3x \cos x = 0 $$ $$ 4 \cos 6x \cos 3x \cos x = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\cos 6x = 0$ $$ 6x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ 2) $\cos 3x = 0$ $$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ 3) $\cos x = 0$ $$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Заметим, что решения уравнения $\cos x = 0$ содержатся в серии решений $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$ (при $n = 3k + 1$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi(3k+1)}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k$). Поэтому отдельно выписывать эту серию не требуется. Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, \; x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}, \; n \in \mathbb{Z}$.