ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / задание для интересующихся математикой - 17

**1)** Решим уравнение: $$ \frac{\sqrt{3} \cos x - \sin x}{\cos 6x} = \frac{\sqrt{3} \sin x + \cos x}{\sin 6x} $$ 1. Область допустимых значений (ОДЗ): Знаменатели дробей не должны обращаться в нуль: $$ \begin{cases} \cos 6x \neq 0 \\ \sin 6x \neq 0 \end{cases} \iff \sin 12x \neq 0 \iff 12x \neq \pi m \iff x \neq \frac{\pi m}{12}, \quad m \in \mathbb{Z} $$ 2. Преобразуем числители с помощью метода вспомогательного угла: $\sqrt{3} \cos x - \sin x = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x\right) = 2\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2\left(\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x\right) = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ 3. Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $$ \frac{2\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)}{\cos 6x} = \frac{2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)}{\sin 6x} $$ Умножим обе части уравнения на $\sin 6x \cos 6x \neq 0$: $$ 2\sin 6x \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 2\cos 6x \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 0 $$ Применим формулу синуса разности $\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha - \beta)$: $$ 2\sin\left(6x - \left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right) = 0 $$ $$ \sin\left(5x - \frac{\pi}{6}\right) = 0 $$ $$ 5x - \frac{\pi}{6} = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ 5x = \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{30} + \frac{\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 4. Отберём корни, принадлежащие интервалу $\left(-\frac{\pi}{2}; 0\right)$: $$ -\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{30} + \frac{\pi k}{5} < 0 $$ Умножим неравенство на 30: $$ -15\pi < \pi + 6\pi k < 0 $$ $$ -16 < 6k < -1 $$ $$ -2\frac{2}{3} < k < -\frac{1}{6} $$ Так как $k \in \mathbb{Z}$, возможные значения $k$ — это $k = -1$ и $k = -2$: - при $k = -1$: $x = \frac{\pi}{30} - \frac{\pi}{5} = -\frac{5\pi}{30} = -\frac{\pi}{6}$. Проверим ОДЗ: при $x = -\frac{\pi}{6}$ значение $\sin 6x = \sin(-\pi) = 0$, следовательно, корень является посторонним. - при $k = -2$: $x = \frac{\pi}{30} - \frac{2\pi}{5} = -\frac{11\pi}{30}$. Проверим ОДЗ: $6x = -\frac{11\pi}{5} = -2\pi - \frac{\pi}{5} \neq \frac{\pi m}{2}$, условия $\cos 6x \neq 0$ и $\sin 6x \neq 0$ выполняются. Ответ: $-\frac{11\pi}{30}$. --- **2)** Решим уравнение: $$ \frac{\sin 6x}{\sin x - \cos x} = \frac{\cos 6x}{\sin x + \cos x} $$ 1. Область допустимых значений (ОДЗ): Знаменатели дробей не равны нулю: $$ \begin{cases} \sin x - \cos x \neq 0 \\ \sin x + \cos x \neq 0 \end{cases} \iff (\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) \neq 0 \iff \sin^2 x - \cos^2 x \neq 0 $$ $$ -\cos 2x \neq 0 \iff 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \iff x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, \quad m \in \mathbb{Z} $$ 2. Используя свойство пропорции при допустимых значениях $x$, получаем: $$ \sin 6x(\sin x + \cos x) = \cos 6x(\sin x - \cos x) $$ $$ \sin 6x \sin x + \sin 6x \cos x = \cos 6x \sin x - \cos 6x \cos x $$ Сгруппируем слагаемые: $$ (\cos 6x \cos x + \sin 6x \sin x) + (\sin 6x \cos x - \cos 6x \sin x) = 0 $$ Применим формулы косинуса разности и синуса разности: $$ \cos(6x - x) + \sin(6x - x) = 0 $$ $$ \cos 5x + \sin 5x = 0 $$ Так как $\cos 5x$ и $\sin 5x$ одновременно не обращаются в нуль, разделим обе части на $\cos 5x \neq 0$: $$ 1 + \tan 5x = 0 $$ $$ \tan 5x = -1 $$ $$ 5x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = -\frac{\pi}{20} + \frac{\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 3. Отберём корни, принадлежащие интервалу $\left(-\frac{\pi}{2}; 0\right)$: $$ -\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{20} + \frac{\pi k}{5} < 0 $$ Умножим неравенство на 20: $$ -10\pi < -\pi + 4\pi k < 0 $$ $$ -9 < 4k < 1 $$ $$ -2,25 < k < 0,25 $$ Целые значения $k$: $k = 0, -1, -2$: - при $k = 0$: $x = -\frac{\pi}{20}$. Проверим ОДЗ: $-\frac{\pi}{20} \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$, корень подходит. - при $k = -1$: $x = -\frac{\pi}{20} - \frac{\pi}{5} = -\frac{5\pi}{20} = -\frac{\pi}{4}$. При $x = -\frac{\pi}{4}$ знаменатель $\sin x + \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$, поэтому корень посторонний. - при $k = -2$: $x = -\frac{\pi}{20} - \frac{2\pi}{5} = -\frac{9\pi}{20}$. Проверим ОДЗ: $-\frac{9\pi}{20} \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$, корень подходит. Ответ: $-\frac{\pi}{20}, -\frac{9\pi}{20}$.