ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / задание для интересующихся математикой - 13

13. Решим тригонометрическое уравнение: $$ \operatorname{tg} x - \operatorname{tg} 3x = \frac{8}{\sin 2x} $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $$ \begin{cases} \cos x \neq 0, \\ \cos 3x \neq 0, \\ \sin 2x \neq 0. \end{cases} $$ 2. Преобразуем левую часть уравнения, применив формулу разности тангенсов: $$ \operatorname{tg} x - \operatorname{tg} 3x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin 3x}{\cos 3x} = \frac{\sin x \cos 3x - \cos x \sin 3x}{\cos x \cos 3x} = \frac{\sin(x - 3x)}{\cos x \cos 3x} = \frac{-\sin 2x}{\cos x \cos 3x} $$ Исходное уравнение принимает вид: $$ \frac{-\sin 2x}{\cos x \cos 3x} = \frac{8}{\sin 2x} $$ 3. Так как по ОДЗ $\sin 2x \neq 0$ и $\cos x \cos 3x \neq 0$, перемножим крест-накрест: $$ -\sin^2 2x = 8 \cos x \cos 3x $$ Применим формулу произведения косинусов $2\cos\alpha\cos\beta = \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)$: $$ 8 \cos x \cos 3x = 4 \cdot (2 \cos 3x \cos x) = 4(\cos 4x + \cos 2x) $$ Выразим $\sin^2 2x$ через формулу понижения степени: $$ \sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2} $$ Подставим полученные выражения в уравнение: $$ -\frac{1 - \cos 4x}{2} = 4(\cos 4x + \cos 2x) $$ Умножим обе части уравнения на 2: $$ -(1 - \cos 4x) = 8(\cos 4x + \cos 2x) $$ $$ -1 + \cos 4x = 8\cos 4x + 8\cos 2x $$ $$ 7\cos 4x + 8\cos 2x + 1 = 0 $$ 4. Выразим $\cos 4x$ через косинус двойного аргумента $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1$: $$ 7(2\cos^2 2x - 1) + 8\cos 2x + 1 = 0 $$ $$ 14\cos^2 2x - 7 + 8\cos 2x + 1 = 0 $$ $$ 14\cos^2 2x + 8\cos 2x - 6 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на 2: $$ 7\cos^2 2x + 4\cos 2x - 3 = 0 $$ 5. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos 2x$, где $|t| \le 1$. Получаем квадратное уравнение: $$ 7t^2 + 4t - 3 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = 4^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-3) = 16 + 84 = 100 = 10^2 $$ $$ t_1 = \frac{-4 + 10}{14} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7} $$ $$ t_2 = \frac{-4 - 10}{14} = -1 $$ 6. Вернемся к переменной $x$: - При $\cos 2x = -1$: $$ 2x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbf{Z} $$ Но если $\cos 2x = -1$, то $\sin 2x = 0$ и $\cos x = 0$, что противоречит ОДЗ. Значит, эта серия значений корней не дает. - При $\cos 2x = \frac{3}{7}$: $$ 2x = \pm \arccos \frac{3}{7} + 2\pi n, \quad n \in \mathbf{Z} $$ $$ x = \pm \frac{1}{2} \arccos \frac{3}{7} + \pi n, \quad n \in \mathbf{Z} $$ Проверим ОДЗ для этого решения: - $\sin 2x = \pm \sqrt{1 - \cos^2 2x} = \pm \sqrt{1 - \frac{9}{49}} = \pm \frac{\sqrt{40}}{7} \neq 0$; - $\cos 3x \cos x = \frac{1}{2}(\cos 4x + \cos 2x) = \frac{1}{2}\left(2\cos^2 2x - 1 + \cos 2x\right) = \frac{1}{2}\left(2 \cdot \frac{9}{49} - 1 + \frac{3}{7}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{18 - 49 + 21}{49}\right) = -\frac{5}{49} \neq 0$. Все ограничения ОДЗ выполнены. Ответ: $\pm \frac{1}{2} \arccos \frac{3}{7} + \pi n, \quad n \in \mathbf{Z}$.