ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / задание для интересующихся математикой - 11

Решим тригонометрическое уравнение: $$ \sin 3x + |\sin x| = \sin 2x $$ Раскроем модуль $|\sin x|$ по определению, рассмотрев два случая. **Случай 1:** $\sin x \ge 0$. Тогда $|\sin x| = \sin x$, и уравнение принимает вид: $$ \sin 3x + \sin x = \sin 2x $$ Применим формулу суммы синусов $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$: $$ 2 \sin 2x \cos x = \sin 2x $$ $$ 2 \sin 2x \cos x - \sin 2x = 0 $$ $$ \sin 2x (2 \cos x - 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1. $\sin 2x = 0$ Распишем по формуле синуса двойного угла: $$ 2 \sin x \cos x = 0 $$ * Если $\sin x = 0$, то $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. При этих значениях условие $\sin x \ge 0$ выполняется. * Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Условию $\sin x \ge 0$ удовлетворяют только те точки, где синус положителен: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. 2. $2 \cos x - 1 = 0 \iff \cos x = \frac{1}{2}$ $$ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ С учетом условия $\sin x \ge 0$ выбираем значения из I четверти: $$ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ --- **Случай 2:** $\sin x < 0$. Тогда $|\sin x| = -\sin x$, и уравнение принимает вид: $$ \sin 3x - \sin x = \sin 2x $$ Применим формулу разности синусов $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$: $$ 2 \sin x \cos 2x = \sin 2x $$ Используем формулу синуса двойного угла в правой части: $$ 2 \sin x \cos 2x = 2 \sin x \cos x $$ $$ 2 \sin x (\cos 2x - \cos x) = 0 $$ Так как в данном случае $\sin x < 0$ (следовательно, $\sin x \neq 0$), разделим обе части уравнения на $2 \sin x$: $$ \cos 2x - \cos x = 0 $$ Выразим $\cos 2x$ через косинус одинарного угла ($\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$): $$ 2 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение относительно $\cos x$: Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$. $$ \cos x = \frac{1 \pm 3}{4} \implies \cos x = 1 \quad \text{или} \quad \cos x = -\frac{1}{2} $$ * Если $\cos x = 1$, то $x = 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$. Но при этом $\sin x = 0$, что противоречит условию $\sin x < 0$. * Если $\cos x = -\frac{1}{2}$, то $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$. С учетом условия $\sin x < 0$ выбираем значения из III четверти: $$ x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $$ --- **Объединение найденных решений:** Из рассмотренных случаев получаем серии: 1) $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; 2) $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; 3) Серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi m = \frac{\pi}{3} + \pi (2m - 1)$ отличаются на $\pi$ и объединяются в одну серию: $$ x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $\pi n, \; \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \; \frac{\pi}{3} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$.