ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / задание для интересующихся математикой - 10

10. Решим тригонометрическое уравнение: $$ \frac{8(\cot x - \tan x)}{\tan x + \cot x} = 2\cos 4x + 5 $$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ):** Функции $\tan x$ и $\cot x$ определены, если: $$ \begin{cases} \cos x \neq 0 \\ \sin x \neq 0 \end{cases} \iff \sin 2x \neq 0 \iff x \neq \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Знаменатель дроби в левой части уравнения: $$ \tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} $$ Так как $\sin 2x \neq 0$, знаменатель определён и отличен от нуля при всех допустимых значениях $x$. **2. Преобразование левой части уравнения:** Упростим числитель: $$ \cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{\cos 2x}{\sin x \cos x} $$ Подставим числитель и знаменатель в дробь: $$ \frac{\cot x - \tan x}{\tan x + \cot x} = \frac{\frac{\cos 2x}{\sin x \cos x}}{\frac{1}{\sin x \cos x}} = \cos 2x $$ Следовательно, левая часть уравнения принимает вид: $$ \frac{8(\cot x - \tan x)}{\tan x + \cot x} = 8\cos 2x $$ **3. Решение уравнения:** Подставим полученное выражение в исходное уравнение: $$ 8\cos 2x = 2\cos 4x + 5 $$ Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1$: $$ 8\cos 2x = 2(2\cos^2 2x - 1) + 5 $$ $$ 8\cos 2x = 4\cos^2 2x - 2 + 5 $$ $$ 4\cos^2 2x - 8\cos 2x + 3 = 0 $$ Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos 2x$, причём $|t| \le 1$. Получаем квадратное уравнение: $$ 4t^2 - 8t + 3 = 0 $$ Найдём корни уравнения через дискриминант: $$ D_1 = (-4)^2 - 4 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 $$ $$ t = \frac{4 \pm 2}{4} $$ $$ t_1 = \frac{4 + 2}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $$ $$ t_2 = \frac{4 - 2}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ Значение $t_1 = \frac{3}{2} > 1$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$. Возвращаемся к замене с корнем $t_2 = \frac{1}{2}$: $$ \cos 2x = \frac{1}{2} $$ $$ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ **4. Проверка ОДЗ:** При $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$ получаем: $$ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n $$ $$ \sin 2x = \sin\left(\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0 $$ Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $\pm \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.