ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / задание для интересующихся математикой - 8

Решим уравнение: $$ \sin x + |\cos x| = \sin 4x + \cos 2x $$ Раскроем знак модуля, рассмотрев два случая в зависимости от знака $\cos x$. --- ### 1. Случай $\cos x \ge 0$ В этом случае $|\cos x| = \cos x$, и уравнение принимает вид: $$ \sin x + \cos x = \sin 4x + \cos 2x $$ Сделаем замену переменной $y = x + \frac{\pi}{4}$, тогда $x = y - \frac{\pi}{4}$. Выразим входящие тригонометрические функции через $y$: * $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \sin y$; * $\cos 2x = \cos\left(2y - \frac{\pi}{2}\right) = \sin 2y$; * $\sin 4x = \sin(4y - \pi) = -\sin 4y$. Подставим полученные выражения в уравнение: $$ \sqrt{2} \sin y = -\sin 4y + \sin 2y $$ $$ \sin 4y - \sin 2y + \sqrt{2} \sin y = 0 $$ Применим формулу разности синусов $\sin 4y - \sin 2y = 2 \sin y \cos 3y$: $$ 2 \sin y \cos 3y + \sqrt{2} \sin y = 0 $$ $$ \sin y \left(2 \cos 3y + \sqrt{2}\right) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\sin y = 0 \implies y = \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. Тогда $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. Проверим условие $\cos x \ge 0$: * при чётных $k = 2n$: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$ (подходит); * при нечётных $k = 2n + 1$: $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \implies \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$ (не подходит). 2) $2 \cos 3y + \sqrt{2} = 0 \implies \cos 3y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. $$ 3y = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies y = \pm \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}, \; k \in \mathbb{Z} $$ Рассмотрим обе ветви: * $y = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} \implies x = y - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi k}{3}$. * при $k = 0$: $x = 0 \implies \cos 0 = 1 \ge 0$ (подходит серия $x = 2\pi n$); * при $k = 1$: $x = \frac{2\pi}{3} \implies \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} < 0$ (не подходит); * при $k = 2$: $x = \frac{4\pi}{3} \implies \cos\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} < 0$ (не подходит). * $y = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} \implies x = y - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}$. * при $k = 0$: $x = -\frac{\pi}{2} \equiv \frac{3\pi}{2} \implies \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 \ge 0$ (подходит серия $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$); * при $k = 1$: $x = -\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{6} \implies \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$ (подходит серия $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$); * при $k = 2$: $x = -\frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} \implies \cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$ (не подходит). --- ### 2. Случай $\cos x < 0$ В этом случае $|\cos x| = -\cos x$, и уравнение принимает вид: $$ \sin x - \cos x = \sin 4x + \cos 2x $$ Используем ту же замену $y = x + \frac{\pi}{4}$, где $x = y - \frac{\pi}{4}$. Заметим, что: $$ \sin x - \cos x = -\sqrt{2} \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2} \cos y $$ Уравнение принимает вид: $$ -\sqrt{2} \cos y = -\sin 4y + \sin 2y $$ $$ \sin 2y - \sin 4y + \sqrt{2} \cos y = 0 $$ Распишем $\sin 4y = 2 \sin 2y \cos 2y$: $$ \sin 2y (1 - 2 \cos 2y) + \sqrt{2} \cos y = 0 $$ $$ 2 \sin y \cos y \left(1 - 2(1 - 2\sin^2 y)\right) + \sqrt{2} \cos y = 0 $$ $$ \cos y \left(2 \sin y (4\sin^2 y - 1) + \sqrt{2}\right) = 0 $$ $$ \cos y \left(8\sin^3 y - 2\sin y + \sqrt{2}\right) = 0 $$ Приравняем множители к нулю: 1) $\cos y = 0 \implies y = \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. Тогда $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. Проверим условие $\cos x < 0$: * при $k = 2n$: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$ (не подходит); * при $k = 2n + 1$: $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \implies \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$ (подходит). 2) $8\sin^3 y - 2\sin y + \sqrt{2} = 0$. Заметим, что значение $\sin y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ обращает уравнение в верное равенство: $$ 8 \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 - 2 \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \sqrt{2} = -2\sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} = 0 $$ Разложим многочлен на множители: $$ 8\sin^3 y - 2\sin y + \sqrt{2} = (2\sin y + \sqrt{2})(4\sin^2 y - 2\sqrt{2}\sin y + 1) = 0 $$ Квадратный трёхчлен относительно $t = \sin y$: $$ 4t^2 - 2\sqrt{2}t + 1 = 0 $$ $$ D = (2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 8 - 16 = -8 < 0 \implies \text{действительных корней нет.} $$ Остаётся: $$ 2\sin y + \sqrt{2} = 0 \implies \sin y = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ y = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \quad \text{или} \quad y = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} $$ Возвращаемся к $x = y - \frac{\pi}{4}$: * $y = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Для этих точек $\cos x = 0$, что противоречит условию $\cos x < 0$ (значения $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \equiv \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$ уже включены в первом случае). * $y = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = -\pi + 2\pi k \equiv \pi + 2\pi k$. Для них $\cos(\pi + 2\pi k) = -1 < 0$ (подходит серия $x = \pi + 2\pi n$). --- ### Объединение найденных решений Из рассмотренных случаев получаем корни: * $x = 2\pi n$ и $x = \pi + 2\pi n$, которые объединяются в одну серию: $$ x = \pi n, \; n \in \mathbb{Z} $$ * $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}$; * $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}$; * $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}$; * $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}$. Ответ: $\frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \; \pi n, \; \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \; -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}$.