ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / задание для интересующихся математикой - 7

Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 9\cos x \cos y - 5\sin x \sin y = -6, \\ 7\cos x \cos y - 3\sin x \sin y = -4. \end{cases} $$ Введем замену переменных: пусть $u = \cos x \cos y$, а $v = \sin x \sin y$. Получаем линейную систему относительно $u$ и $v$: $$ \begin{cases} 9u - 5v = -6, \\ 7u - 3v = -4. \end{cases} $$ Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на $3$, а второе на $5$: $$ \begin{cases} 27u - 15v = -18, \\ 35u - 15v = -20. \end{cases} $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ (35u - 15v) - (27u - 15v) = -20 - (-18) $$ $$ 8u = -2 \implies u = -\frac{1}{4} $$ Найдем значение $v$, подставив $u = -\frac{1}{4}$ во второе уравнение: $$ 7 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) - 3v = -4 $$ $$ -3v = -4 + \frac{7}{4} $$ $$ -3v = -\frac{9}{4} \implies v = \frac{3}{4} $$ Возвращаясь к исходным переменным, получаем: $$ \begin{cases} \cos x \cos y = -\frac{1}{4}, \\ \sin x \sin y = \frac{3}{4}. \end{cases} $$ Воспользуемся тригонометрическими формулами для косинуса суммы и косинуса разности аргументов: $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$, $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$. Тогда: $$ \cos(x + y) = -\frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -1 $$ $$ \cos(x - y) = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{1}{2} $$ Получаем систему простейших тригонометрических уравнений: $$ \begin{cases} \cos(x + y) = -1, \\ \cos(x - y) = \frac{1}{2}. \end{cases} $$ Решим каждое уравнение: $$ \begin{cases} x + y = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}, \\ x - y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. \end{cases} $$ Сложим и вычтем уравнения системы: 1) Складывая уравнения, находим $2x$: $$ 2x = \pi + 2\pi k \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n $$ $$ x = \frac{\pi}{2} \pm \frac{\pi}{6} + \pi k + \pi n $$ 2) Вычитая из первого уравнения второе, находим $2y$: $$ 2y = \pi + 2\pi k \mp \frac{\pi}{3} - 2\pi n $$ $$ y = \frac{\pi}{2} \mp \frac{\pi}{6} + \pi k - \pi n $$ Таким образом, знаки $\pm$ у слагаемого $\frac{\pi}{6}$ в выражениях для $x$ и $y$ согласованы (противоположны). Ответ: $\left( \frac{\pi}{2} \pm \frac{\pi}{6} + \pi k + \pi n; \; \frac{\pi}{2} \mp \frac{\pi}{6} + \pi k - \pi n \right), \ k, n \in \mathbb{Z}$.