ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 37 / вариант 1 - 4

4. Решим тригонометрическое неравенство: $$ 2 \cos^2 x - 3 \cos x - 2 > 0 $$ Введём новую переменную. Пусть $t = \cos x$, причём $-1 \le t \le 1$. Получаем квадратное неравенство: $$ 2t^2 - 3t - 2 > 0 $$ Найдём корни квадратного трёхчлена $2t^2 - 3t - 2 = 0$: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 $$ $$ t_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = 2 $$ $$ t_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2} $$ Разложим левую часть неравенства на множители: $$ 2(t - 2)\left(t + \frac{1}{2}\right) > 0 $$ Решением этого квадратного неравенства является совокупность: $$ \left[ \begin{aligned} & t < -\frac{1}{2}, \\ & t > 2 \end{aligned} \right. $$ Вернёмся к переменной $x$: $$ \left[ \begin{aligned} & \cos x < -\frac{1}{2}, \\ & \cos x > 2 \end{aligned} \right. $$ Так как для любого действительного $x$ справедливо неравенство $-1 \le \cos x \le 1$, неравенство $\cos x > 2$ не имеет решений. Остаётся решить неравенство: $$ \cos x < -\frac{1}{2} $$ На единичной окружности отметим точки, в которых $\cos x = -\frac{1}{2}$: это точки, соответствующие углам $\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$. Неравенству $\cos x < -\frac{1}{2}$ соответствуют точки дуги окружности, лежащие строго левее прямой $u = -\frac{1}{2}$. Запишем решение для одного периода длины $2\pi$: $$ \frac{2\pi}{3} < x < \frac{4\pi}{3} $$ Добавив период $2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, получаем общее решение: $$ \frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x \in \left(\frac{2\pi}{3} + 2\pi k; \, \frac{4\pi}{3} + 2\pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$.