ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 37 / вариант 2 - 2

Решим тригонометрическое неравенство: $$\sin 2x > \frac{1}{2}$$ 1. Введём замену переменной: пусть $t = 2x$. Тогда неравенство примет вид: $$\sin t > \frac{1}{2}$$ 2. Найдём решения относительно переменной $t$ с помощью единичной окружности. Прямая $y = \frac{1}{2}$ пересекает единичную окружность в точках, соответствующих углам: $$t_1 = \arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$$ $$t_2 = \pi - \arcsin\frac{1}{2} = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$$ Неравенству $\sin t > \frac{1}{2}$ соответствуют точки дуги окружности, лежащие строго выше прямой $y = \frac{1}{2}$. С учётом периода функции синуса $T = 2\pi$ получаем: $$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 3. Сделаем обратную замену $t = 2x$: $$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < 2x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Разделим все части двойного неравенства на $2$: $$\frac{\pi}{12} + \pi k < x < \frac{5\pi}{12} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Ответ: $x \in \left(\frac{\pi}{12} + \pi k; \frac{5\pi}{12} + \pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$.