ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 2 - 21

21. Решим тригонометрическое уравнение: $$ \sin 2x + \sqrt{2} \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 1 $$ Преобразуем выражение $\sqrt{2} \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right)$, применив формулу синуса разности: $$ \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = \sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x $$ Тогда: $$ \sqrt{2} \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x \right) = \sin x - \cos x $$ Подставим полученное выражение в исходное уравнение: $$ \sin 2x + \sin x - \cos x = 1 $$ Перенесем единицу в левую часть: $$ (\sin x - \cos x) - (1 - \sin 2x) = 0 $$ Применим основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $$ 1 - \sin 2x = \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = (\sin x - \cos x)^2 $$ Тогда уравнение примет вид: $$ (\sin x - \cos x) - (\sin x - \cos x)^2 = 0 $$ Вынесем общий множитель $(\sin x - \cos x)$ за скобки: $$ (\sin x - \cos x)(1 - (\sin x - \cos x)) = 0 $$ $$ (\sin x - \cos x)(1 - \sin x + \cos x) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\sin x - \cos x = 0$ Разделим обе части на $\cos x \neq 0$ (так как если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что противоречит тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$): $$ \operatorname{tg} x - 1 = 0 $$ $$ \operatorname{tg} x = 1 $$ $$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $1 - \sin x + \cos x = 0$ $$ \sin x - \cos x = 1 $$ Разделим обе части на $\sqrt{2}$: $$ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} $$ $$ \sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Получаем две серии решений: $$ x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \implies x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi m \implies x = \pi + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k; \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \quad x = \pi + 2\pi m, \quad k, n, m \in \mathbb{Z}$.