ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 2 - 20

20. Решите уравнение: $$ 2\sin x = |\cos x| $$ Так как модуль принимает только неотрицательные значения, то правая часть уравнения неотрицательна: $$ |\cos x| \ge 0 \implies 2\sin x \ge 0 \implies \sin x \ge 0 $$ Если $\cos x = 0$, то из уравнения следует $2\sin x = 0$, то есть $\sin x = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \ne 0$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая: 1) Пусть $\cos x > 0$. Тогда $|\cos x| = \cos x$, и уравнение принимает вид: $$ 2\sin x = \cos x $$ Разделим обе части уравнения на $\cos x \ne 0$: $$ 2\operatorname{tg} x = 1 $$ $$ \operatorname{tg} x = \frac{1}{2} $$ С учетом условий $\sin x \ge 0$ и $\cos x > 0$, угол $x$ принадлежит I координатной четверти: $$ x = \operatorname{arctg}\frac{1}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) Пусть $\cos x < 0$. Тогда $|\cos x| = -\cos x$, и уравнение принимает вид: $$ 2\sin x = -\cos x $$ Разделим обе части на $\cos x \ne 0$: $$ 2\operatorname{tg} x = -1 $$ $$ \operatorname{tg} x = -\frac{1}{2} $$ С учетом условий $\sin x \ge 0$ и $\cos x < 0$, угол $x$ принадлежит II координатной четверти: $$ x = \pi - \operatorname{arctg}\frac{1}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Объединяя обе серии решений, получаем: $$ x = (-1)^m \operatorname{arctg}\frac{1}{2} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = (-1)^m \operatorname{arctg}\frac{1}{2} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$ (или $x = \operatorname{arctg}\frac{1}{2} + 2\pi k, \; x = \pi - \operatorname{arctg}\frac{1}{2} + 2\pi n, \; k, n \in \mathbb{Z}$).