ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 2 - 18

18. Решим уравнение: $$ 3 \sin^2 x - 4 \sin x \cos x + \cos^2 x = 0 $$ Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Проверим, могут ли являться решениями уравнения значения $x$, при которых $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то исходное уравнение принимает вид: $$ 3 \sin^2 x - 0 + 0 = 0 \implies \sin x = 0 $$ Но $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю в силу основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и обе части уравнения можно разделить на $\cos^2 x$: $$ 3 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 4 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $$ $$ 3 \operatorname{tg}^2 x - 4 \operatorname{tg} x + 1 = 0 $$ Пусть $t = \operatorname{tg} x$, тогда получаем квадратное уравнение: $$ 3t^2 - 4t + 1 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 = 2^2 $$ Корни уравнения: $$ t_1 = \frac{4 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 $$ $$ t_2 = \frac{4 - 2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$ Вернемся к замене: 1) $\operatorname{tg} x = 1$ $$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $\operatorname{tg} x = \frac{1}{3}$ $$ x = \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \; x = \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.