ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 2 - 16

**16.** **4)** Решим уравнение: $$ 3\sin x - 5\cos x = 0 $$ Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Проверим, могут ли быть корнями значения $x$, при которых $\cos x = 0$: Если $\cos x = 0$, то подставив это значение в исходное уравнение, получим: $$ 3\sin x - 5 \cdot 0 = 0 \implies \sin x = 0 $$ Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю в силу основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и обе части уравнения можно разделить на $\cos x$. Разделим обе части уравнения на $\cos x$: $$ \frac{3\sin x}{\cos x} - \frac{5\cos x}{\cos x} = 0 $$ Так как $\frac{\sin x}{\cos x} = \operatorname{tg} x$, получаем: $$ 3\operatorname{tg} x - 5 = 0 $$ $$ 3\operatorname{tg} x = 5 $$ $$ \operatorname{tg} x = \frac{5}{3} $$ По формуле корней простейшего тригонометрического уравнения $\operatorname{tg} x = a$: $$ x = \operatorname{arctg}\left(\frac{5}{3}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = \operatorname{arctg}\left(\frac{5}{3}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$