ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 2 - 17

17. Дано уравнение: $$ 5 \sin^2 x + 6 \cos^2 x + 7 \sin x \cos x = 0 $$ Запишем уравнение в стандартном виде однородного тригонометрического уравнения второй степени: $$ 5 \sin^2 x + 7 \sin x \cos x + 6 \cos^2 x = 0 $$ Проверим, могут ли корни уравнения удовлетворять условию $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то из уравнения следует: $$ 5 \sin^2 x + 0 + 0 = 0 \implies \sin x = 0 $$ Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю в силу основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x \neq 0$: $$ 5 \cdot \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 7 \cdot \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 6 \cdot \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $$ $$ 5 \operatorname{tg}^2 x + 7 \operatorname{tg} x + 6 = 0 $$ Пусть $t = \operatorname{tg} x$. Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $$ 5t^2 + 7t + 6 = 0 $$ Найдем дискриминант уравнения: $$ D = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 49 - 120 = -71 $$ Так как $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней, а значит, и исходное тригонометрическое уравнение не имеет действительных решений. Ответ: решений нет (действительных корней нет).