ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 2 - 15

Решим однородное тригонометрическое уравнение первой степени: $$ 4 \sin x + \cos x = 0 $$ Если $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что $4 \sin x = 0$, то есть $\sin x = 0$. Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos x$: $$ \frac{4 \sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0 $$ $$ 4 \operatorname{tg} x + 1 = 0 $$ Перенесем свободный член в правую часть: $$ 4 \operatorname{tg} x = -1 $$ $$ \operatorname{tg} x = -\frac{1}{4} $$ Используя формулу корней простейшего тригонометрического уравнения $\operatorname{tg} x = a$, получаем: $$ x = \operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{4}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Так как функция арктангенс нечетная ($\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg} a$): $$ x = -\operatorname{arctg}\frac{1}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = -\operatorname{arctg}\frac{1}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$