ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 2 - 12

12. Решим уравнение: $$ 4 \sin 2x + \sin 3x = 0 $$ Используем формулы синуса двойного и тройного углов: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$. Подставим их в уравнение: $$ 4 \cdot (2 \sin x \cos x) + 3 \sin x - 4 \sin^3 x = 0 $$ $$ 8 \sin x \cos x + 3 \sin x - 4 \sin^3 x = 0 $$ Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки: $$ \sin x (8 \cos x + 3 - 4 \sin^2 x) = 0 $$ Выразим $\sin^2 x$ через $\cos x$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $$ \sin x \bigl(8 \cos x + 3 - 4(1 - \cos^2 x)\bigr) = 0 $$ $$ \sin x (8 \cos x + 3 - 4 + 4 \cos^2 x) = 0 $$ $$ \sin x (4 \cos^2 x + 8 \cos x - 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\sin x = 0$ $$ x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ 2) $4 \cos^2 x + 8 \cos x - 1 = 0$ Пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Получаем квадратное уравнение: $$ 4t^2 + 8t - 1 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 64 + 16 = 80 = (4\sqrt{5})^2 $$ Корни уравнения: $$ t_{1, 2} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{5}}{2 \cdot 4} = \frac{-2 \pm \sqrt{5}}{2} $$ Оценим полученные значения: - $t_1 = \frac{-2 - \sqrt{5}}{2} < -1$, следовательно, этот корень не удовлетворяет условию $|t| \le 1$. - $t_2 = \frac{\sqrt{5} - 2}{2}$. Так как $2 < \sqrt{5} < 3$, получаем $0 < \frac{\sqrt{5} - 2}{2} < 0{,}5$, то есть корень удовлетворяет условию $|t| \le 1$. Возвращаемся к замене: $$ \cos x = \frac{\sqrt{5} - 2}{2} $$ $$ x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{5} - 2}{2}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \pi n$; $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{5} - 2}{2}\right) + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.