ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 2 - 13

Решим тригонометрическое уравнение: $$ \cos 7x - \cos x - \sin 4x = 0 $$ Применим к первым двум слагаемым формулу разности косинусов: $$ \cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2} $$ Получаем: $$ \cos 7x - \cos x = -2\sin\frac{7x + x}{2}\sin\frac{7x - x}{2} = -2\sin 4x \sin 3x $$ Подставим полученное выражение в исходное уравнение: $$ -2\sin 4x \sin 3x - \sin 4x = 0 $$ Вынесем общий множитель $-\sin 4x$ за скобки: $$ -\sin 4x (2\sin 3x + 1) = 0 $$ $$ \sin 4x (2\sin 3x + 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\sin 4x = 0$ $$ 4x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $2\sin 3x + 1 = 0$ $$ \sin 3x = -\frac{1}{2} $$ $$ 3x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi k}{4}, \quad x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.