ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 2 - 11

11. 4) Решите уравнение: $$ \cos x + \cos 3x = 0 $$ Применим формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}$: $$ 2 \cos \frac{3x + x}{2} \cos \frac{3x - x}{2} = 0 $$ $$ 2 \cos 2x \cos x = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ \cos 2x \cos x = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\cos 2x = 0$ $$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $\cos x = 0$ $$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \; k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$.