ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 1 - 18

Решим однородное тригонометрическое уравнение второй степени: $$ \sin^2 x - 5 \sin x \cos x + 6 \cos^2 x = 0 $$ Если $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что $\sin x = 0$, что невозможно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Значит, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$: $$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 5 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 6 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $$ $$ \operatorname{tg}^2 x - 5 \operatorname{tg} x + 6 = 0 $$ Введём замену переменной: пусть $\operatorname{tg} x = t$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - 5t + 6 = 0 $$ По теореме Виета: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$. Вернёмся к замене: 1) $\operatorname{tg} x = 2$ $$ x = \operatorname{arctg} 2 + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $\operatorname{tg} x = 3$ $$ x = \operatorname{arctg} 3 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = \operatorname{arctg} 2 + \pi k, \; x = \operatorname{arctg} 3 + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$