ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 1 - 16

16. 4) Решим уравнение: $$3\sin x + 2\cos x = 0$$ Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Проверим, может ли $\cos x$ быть равным нулю. Если $\cos x = 0$, то исходное уравнение принимает вид: $$3\sin x + 2 \cdot 0 = 0 \implies \sin x = 0$$ Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно обращаться в ноль, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos x$: $$\frac{3\sin x}{\cos x} + \frac{2\cos x}{\cos x} = 0$$ $$3\operatorname{tg} x + 2 = 0$$ Выразим тангенс: $$3\operatorname{tg} x = -2$$ $$\operatorname{tg} x = -\frac{2}{3}$$ Найдём корни уравнения: $$x = \operatorname{arctg}\left(-\frac{2}{3}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Используя свойство нечётности арктангенса $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg} a$: $$x = -\operatorname{arctg}\left(\frac{2}{3}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Ответ: $x = -\operatorname{arctg}\left(\frac{2}{3}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.