ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 1 - 20

20. Решим тригонометрическое уравнение с модулем: $$ \sin x + 2 \cos x = |\sin x| $$ По определению абсолютной величины раскроем модуль, рассмотрев два случая. **1 случай:** $\sin x \ge 0$. При этом условии $|\sin x| = \sin x$, и уравнение принимает вид: $$ \sin x + 2 \cos x = \sin x $$ $$ 2 \cos x = 0 $$ $$ \cos x = 0 $$ $$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Учитывая условие $\sin x \ge 0$, на единичной окружности выбираем только верхнюю точку ($\sin x = 1$): $$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **2 случай:** $\sin x < 0$. При этом условии $|\sin x| = -\sin x$, и уравнение принимает вид: $$ \sin x + 2 \cos x = -\sin x $$ $$ 2 \sin x + 2 \cos x = 0 $$ $$ \sin x + \cos x = 0 $$ Если $\cos x = 0$, то из уравнения следует $\sin x = 0$, что невозможно в силу тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Значит, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos x$: $$ \tan x + 1 = 0 $$ $$ \tan x = -1 $$ Корни уравнения $\tan x = -1$ имеют вид $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. С учетом условия $\sin x < 0$ подходят только точки, лежащие в IV четверти (где $\sin x < 0$, $\cos x > 0$): $$ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Объединяя результаты обоих случаев, получаем множество решений исходного уравнения. Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.