ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 1 - 17

Дано уравнение: $$ 5 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0 $$ Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени относительно $\sin x$ и $\cos x$. Проверим, могут ли являться корнями уравнения значения $x$, при которых $\cos x = 0$: Если $\cos x = 0$, то уравнение принимает вид: $$ 5 \sin^2 x + 0 - 0 = 0 \implies \sin x = 0 $$ Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю в силу основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Значит, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x \neq 0$: $$ 5 \cdot \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 2 \cdot \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 3 \cdot \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $$ $$ 5 \operatorname{tg}^2 x + 2 \operatorname{tg} x - 3 = 0 $$ Пусть $t = \operatorname{tg} x$. Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $$ 5t^2 + 2t - 3 = 0 $$ Найдем корни уравнения через дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64 = 8^2 $$ $$ t_1 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $$ $$ t_2 = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1 $$ Вернемся к замене переменной: 1) $\operatorname{tg} x = -1$ $$ x = \operatorname{arctg}(-1) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $\operatorname{tg} x = \frac{3}{5}$ $$ x = \operatorname{arctg} \frac{3}{5} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}; \quad x = \operatorname{arctg} \frac{3}{5} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$.