ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 1 - 19

Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ 2 \sin^2 x - 5 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0 $$ Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, могут ли корни уравнения удовлетворять условию $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то уравнение принимает вид: $$ 2 \sin^2 x = 0 \implies \sin x = 0 $$ Но $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю в силу основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x \neq 0$: $$ 2 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 5 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 3 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $$ $$ 2 \operatorname{tg}^2 x - 5 \operatorname{tg} x - 3 = 0 $$ Введем замену переменной: пусть $t = \operatorname{tg} x$. Получаем квадратное уравнение: $$ 2t^2 - 5t - 3 = 0 $$ Найдем корни уравнения через дискриминант: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2 $$ $$ t_1 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3 $$ $$ t_2 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $$ Вернемся к исходной переменной: 1) $\operatorname{tg} x = 3$ $$ x = \operatorname{arctg} 3 + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $\operatorname{tg} x = -\frac{1}{2}$ $$ x = \operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n = -\operatorname{arctg}\frac{1}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \operatorname{arctg} 3 + \pi k, \quad x = -\operatorname{arctg}\frac{1}{2} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.