ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 1 - 15

15. Дано уравнение: $$ 4 \sin x - \cos x = 0 $$ Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Проверим, могут ли корни уравнения обращать $\cos x$ в ноль. Если $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что $4 \sin x = 0$, то есть $\sin x = 0$. Однако синус и косинус одного и того же аргумента не могут одновременно равняться нулю, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Значит, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos x$: $$ \frac{4 \sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\cos x} = 0 $$ $$ 4 \operatorname{tg} x - 1 = 0 $$ Перенесем свободный член в правую часть и выразим $\operatorname{tg} x$: $$ 4 \operatorname{tg} x = 1 $$ $$ \operatorname{tg} x = \frac{1}{4} $$ Используя формулу корней простейшего тригонометрического уравнения $\operatorname{tg} x = a$, получаем: $$ x = \operatorname{arctg} \frac{1}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \operatorname{arctg} \frac{1}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.