ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 36 / вариант 1 - 13

13. Решим тригонометрическое уравнение: $$ \sin 7x - \sin 3x - \cos 5x = 0 $$ Применим формулу разности синусов $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}$ к первым двум слагаемым: $$ \sin 7x - \sin 3x = 2 \sin \frac{7x - 3x}{2} \cos \frac{7x + 3x}{2} = 2 \sin 2x \cos 5x $$ Подставим полученное выражение в уравнение: $$ 2 \sin 2x \cos 5x - \cos 5x = 0 $$ Вынесем общий множитель $\cos 5x$ за скобки: $$ \cos 5x (2 \sin 2x - 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $$ \cos 5x = 0 \quad \text{или} \quad 2 \sin 2x - 1 = 0 $$ Решим каждое уравнение отдельно: 1) $\cos 5x = 0$ $$ 5x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $2 \sin 2x - 1 = 0$ $$ \sin 2x = \frac{1}{2} $$ $$ 2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$.