ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 35 / вариант 2 - 8

8. $\boxed{4}$ Вычислим значение выражения: $$ \cos \left( \operatorname{arctg} 1 + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) $$ 1) Найдем значение $\operatorname{arctg} 1$: По определению арктангенса, $\operatorname{arctg} a = \alpha$, где $\operatorname{tg} \alpha = a$ и $\alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$. Так как $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1$ и $\frac{\pi}{4} \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, получаем: $$ \operatorname{arctg} 1 = \frac{\pi}{4} $$ 2) Найдем значение $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$: По определению арккосинуса, $\arccos a = \beta$, где $\cos \beta = a$ и $\beta \in [0; \pi]$. Так как $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\pi}{4} \in [0; \pi]$, получаем: $$ \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} $$ 3) Найдем сумму углов внутри аргумента косинуса: $$ \operatorname{arctg} 1 + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} $$ 4) Вычислим значение косинуса от полученного угла: $$ \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0 $$ Следовательно: $$ \cos \left( \operatorname{arctg} 1 + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 0 $$ Ответ: $0$