ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 35 / вариант 2 - 28

5) Решим уравнение: $$\frac{2\operatorname{tg} 2x}{1 - \operatorname{tg}^2 2x} = \sqrt{3}$$ Найдем область допустимых значений уравнения: 1. Выражение $\operatorname{tg} 2x$ определено, если: $$2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $$1 - \operatorname{tg}^2 2x \neq 0$$ $$\operatorname{tg}^2 2x \neq 1$$ $$\operatorname{tg} 2x \neq \pm 1$$ $$2x \neq \pm\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x \neq \pm\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Используем формулу тангенса двойного угла $\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$ при $\alpha = 2x$: $$\operatorname{tg}(2 \cdot 2x) = \sqrt{3}$$ $$\operatorname{tg} 4x = \sqrt{3}$$ Решим простейшее тригонометрическое уравнение: $$4x = \operatorname{arctg}\sqrt{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$4x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Разделим обе части на $4$: $$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Проверим выполнимость условий ОДЗ: - При любых целых $n$ и $k$ равенство $\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ равносильно $1 + 3n = 3 + 6k \iff 3(2k - n) = -2$, что невозможно в целых числах. - Равенство $\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{4} = \pm \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$ после умножения на $24$ приводит к $2 + 6n = \pm 3 + 12k$, где левая часть четная, а правая — нечетная, что также не имеет решений в целых числах. Следовательно, все найденные значения входят в ОДЗ. Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}$