ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 35 / вариант 2 - 29

Дано уравнение: $$ \text{tg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} $$ 1. Найдем общее решение уравнения: $$ x - \frac{\pi}{3} = \text{arctg}(\sqrt{3}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Так как $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, получаем: $$ x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{2\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2. Найдем корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{3\pi}{2}; \pi\right]$. Составим двойное неравенство: $$ -\frac{3\pi}{2} \le \frac{2\pi}{3} + \pi k \le \pi $$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $$ -\frac{3}{2} \le \frac{2}{3} + k \le 1 $$ Вычтем $\frac{2}{3}$: $$ -\frac{3}{2} - \frac{2}{3} \le k \le 1 - \frac{2}{3} $$ $$ -\frac{13}{6} \le k \le \frac{1}{3} $$ $$ -2\frac{1}{6} \le k \le \frac{1}{3} $$ Так как $k \in \mathbb{Z}$, целыми решениями неравенства являются: $k = -2$, $k = -1$, $k = 0$. 3. Вычислим значения $x$ для каждого найденного $k$: - при $k = -2$: $$ x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3} $$ - при $k = -1$: $$ x = \frac{2\pi}{3} - \pi = -\frac{\pi}{3} $$ - при $k = 0$: $$ x = \frac{2\pi}{3} $$ Ответ: $-\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}$.